Esercizi sulle rette perpendicolari

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Esercizi sulla retta nel piano e coordinate cartesiane

A seguire troverete una serie di esercizi sulle rette perpendicolari, nei quali metteremo in pratica quanto visto sulla lezione relativa alla perpendicolarità tra rette.

Ricordiamo che due rette {r_1: y=m_1x+q_1} e {r_2: y=m_2x+q_2}, non parallele agli assi coordinati, sono tra loro perpendicolari se e solo se vale la relazione:

m_1 \cdot m_2 = -1

o il che è lo stesso:

m_2 = -\dfrac{1}{m_1}

In altre parole una retta è perpendicolare all’altra se il coefficiente angolare dell’una è l’inverso del reciproco del coefficiente angolare dell’altra.

Nel caso di esercizi sulle rette perpendicolari ove le equazioni delle rette siano date in forma implicita, è comunque possibile stabilire una relazione di perpendicolarità a partire dai coefficienti dei termini in {x} e {y}. In particolare, si può dimostrare che data la retta:

r_1:a_1x+b_1y+c_1=0, \qquad a_1, b_1 \neq 0

la retta:

r_2:b_1x-a_1y+k=0

è ad essa perpendicolare, per ogni fissato valore reale del termine noto {k}.

Da ciò segue la regola pratica che, data una retta non parallela agli assi coordinati, con equazione in forma implicita {a_1x+b_1y+c_1=0}, se nell’equazione scambiamo tra loro i coefficienti dei termini in {x} e {y} e cambiamo il segno di uno solo di essi, l’equazione che così otteniamo è relativa ad una retta perpendicolare alla retta di partenza. Ed in particolare per ogni valore reale del termine noto si ottiene l’equazione di una retta perpendicolare a quella di partenza.

Fatti i dovuti richiami, mettiamo subito in pratica i concetti con una serie di esercizi sulle rette perpendicolari, svolti e commentati.

Esercizi svolti e commentati sulle rette perpendicolari (relazione di perpendicolarità tra rette)

Esercizio 1

Stabilire se le rette {r_1:4x=5y+6} e {r_2: 5y=6-4x} sono tra loro perpendicolari.

Prima di tutto trasportiamo i termini in ciascuna equazione in modo da ricondurla alla forma implicita {ax+by+c=0}. Abbiamo:

r_1: 4x-5y-6=0, \qquad r_2: 4x+5y-6=0

Osserviamo che i coefficienti dei termini in {x} e {y} non risultano scambiati tra loro nel passaggio da un’equazione all’altra. Infatti, entrambe le equazioni condividono lo stesso coefficiente del termine in {x} (che è {4}).

Di conseguenza le due rette non sono perpendicolari tra loro.

Come ulteriore prova (non necessaria ma utile ai fini didattici), possiamo anche ricondurre entrambe le equazioni alla forma esplicita e quindi confrontare i coefficienti angolari. Abbiamo:

\begin{align*} & r_1: 5y=4x-6 \quad \Rightarrow  y=\dfrac{4}{5}x-\dfrac{6}{5} \\ \\ &r_2: 5y=6-4x \quad \Rightarrow y=-\dfrac{4}{5}x+\dfrac{6}{5}\end{align*}

Abbiamo {m_1=\dfrac{4}{5}} e {m_2=-\dfrac{4}{5}}. Osserviamo che i coefficienti angolari sono uno l’inverso dell’altro, ma non sono tra loro opposti. In altre parole la relazione {m_1 \cdot m_2 = -1} non è verificata. Infatti:

m_1 \cdot m_2 = \dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{5} \right)=-\dfrac{16}{25} \neq -1

Troviamo così ancora conferma del fatto che le due rette non sono tra loro perpendicolari.

Esercizio 2

Stabilire se le rette {r_1: \dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}y+3=0} e {r_2: x+2y=0} sono tra loro perpendicolari.

Riconduciamo per comodità l’equazione della retta {r_1} alla forma intera:

r_1: \dfrac{2x-y+12}{\cancel{4}}=0 \quad \Rightarrow 2x-y+12=0

Confrontiamo ora le due equazioni utilizzando per l’equazione di {r_1} la forma appena ottenuta:

\begin{align*} &r_1: 2x-y+12=0; \\ \\ & r_2: x+2y=0 \end{align*}

Osserviamo che entrambe le equazioni sono della forma {ax+by+c=0} (nell’equazione di {r_2} abbiamo semplicemente {c=0}). Possiamo quindi ragionare sui coefficienti dei termini in {x} e {y}.

In particolare, osserviamo che il coefficiente del termine in {x} dell’equazione di {r_2} è uguale al coefficiente del termine in {y} dell’equazione di {r_1} cambiato di segno. Inoltre, il coefficiente del termine in {y} di {r_2} è uguale al coefficiente del termine in {x} di {r_1}. Così i coefficienti dei termini in {x} e {y} nel passaggio da un’equazione all’altra risultano scambiati tra loro, con uno ed uno solo dei due coefficienti cambiato di segno.

Di conseguenza, le due rette sono in conclusione perpendicolari tra loro.

Come ulteriore riprova, possiamo riscrivere entrambe le equazioni in forma esplicita e quindi confrontare tra loro i coefficienti angolari. Abbiamo:

\begin{align*} &r_1: y=2x+12; \\ \\ &r_2: y=-\dfrac{1}{2}x\end{align*}

Di conseguenza abbiamo {m_1=2} ed {m_1=-\dfrac{1}{2}}. Un coefficiente angolare è l’inverso del reciproco dell’altro, ed infatti abbiamo:

m_1 \cdot m_2=2 \cdot \left( -\dfrac{1}{2}\right)=-1

Così in conclusione ritroviamo conferma del fatto che le due rette date sono perpendicolari tra loro.

Esercizio 3

Scrivere l’equazione in forma implicita della retta {r_2} perpendicolare alla retta {r_1:x-2y=0} e passante per il punto {P=(x_P, y_P)=(-2,7)}.

Primo metodo. Riconduciamo l’equazione della retta {r_1} alla forma esplicita:

r_1: y=\dfrac{1}{2}x

Osserviamo che il coefficiente angolare della retta {r_1} è {m_1=\dfrac{1}{2}}.

Ora, una qualsiasi retta avente coefficiente angolare uguale all’inverso del reciproco del coefficiente angolare della retta {r_1} sarà perpendicolare a quest’ultima. In particolare abbiamo:

-\dfrac{1}{m_1}=-\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=\boxed{-2}

Così, la retta:

r:y=\boxed{-2}x+k

sarà per ogni fissato valore di {k} perpendicolare alla retta {r_1}.

Ma noi ricerchiamo una particolare retta perpendicolare a {r_1}, ovvero la retta {r_2} tale da passare per il punto {P=(x_P, y_P)=(-2,7)}. Così dobbiamo imporre la condizione di appartenenza del punto {P} alla retta {r}:

y_P=-2x_P+k

da cui essendo {x_P=-2} e {y_P=7}:

7=-2 \cdot (-2)+k

e ricavando {k}:

k=3

Di conseguenza per {k=3} dall’equazione della retta {r} otteniamo l’equazione della retta {r_2}, tale da essere perpendicolare a {r_1} e passante per il punto {P} dato:

r_2: y=-2x+3

Infine, riscriviamo l’equazione di {r_2} in forma implicita, come richiesto dal testo:

r_2: 2x+y-3=0

Secondo metodo. Riprendiamo l’equazione della retta {r_1} così come viene data nel testo del problema:

r_1:x-2y=0

Una retta perpendicolare a {r_1} dovrà essere della forma:

r: -2x-y+k=0

con {k} parametro reale. Infatti, i coefficienti dei termini in {x} e {y}, rispetto all’equazione di partenza, risultano scambiati tra loro e solo uno di essi ha il segno cambiato.

In particolare, dovremo scegliere il valore del parametro {k} tale per cui la retta {r} risulti passante per il punto {P=(-2,7)}. Per avere ciò, basta imporre la condizione di appartenenza del punto {P} alla retta {r}:

-2x_p-y_P+k=0

ovvero, sostituendo le coordinate del punto {P}:

-2 \cdot (-2)-7+k=0 \quad \Rightarrow \quad k=3

Così con {k=3} l’equazione della generica retta {r} perpendicolare a {r_1} si riduce all’equazione della retta {r_2}, ovvero della retta perpendicolare ad {r_1} e passante per il punto {P}:

r_2: -2x-y+3=0

o se preferite invertendo i segni di tutti i termini:

r_2:2x+y-3=0

Esercizio 4

Scrivere l’equazione della retta {r_2} perpendicolare alla retta {r_1: y=7} e passante per il punto {P=(3,5)}.

In questo caso non possiamo utilizzare le relazioni di perpendicolarità viste in precedenza. Infatti, abbiamo {m=0}. Tuttavia, basta semplicemente osservare che la retta {r_1} è orizzontale, e di conseguenza una retta ad essa perpendicolare sarà necessariamente verticale, ovvero della forma {x=k}.

Rimane ora solo da trovare il valore del parametro {k} per il quale la retta {x=k} passi per il punto {P=(3,5)}. Ma detta {x_P} l’ascissa del punto {P}, tale condizione si traduce come:

x_P=k

da cui:

k=3

Di conseguenza, l’equazione {x=k} con {k=3} è l’equazione della retta {r_2} cercata:

r_2:x=3

Veniamo ora all’ultimo di questa serie di esercizi sulle rette perpendicolari.

Esercizio 5

Scrivere l’equazione in forma esplicita della retta {r_2} perpendicolare alla retta {r_1: x+6y-11=0} e passante per il punto {P=\left( \dfrac{1}{2}, 2\right)}.

Poiché l’equazione della retta {r_1} è data in forma implicita, possiamo intanto ricavare l’equazione della retta {r_2} in forma implicita, e quindi ridurla alla forma esplicita.

Per la regola sui coefficienti dei termini in {x} e {y}, una generica retta perpendicolare a {r_1} sarà della forma:

r: 6x-y+k=0

con {k} parametro reale. Nel nostro caso, {k} dovrà essere tale che il punto {P} appartenga alla retta {r}. Indicate allora con {x_P} e {y_P} le coordinate del punto {P} dovremo avere:

6x_P-y_P+k=0

ovvero sostituendo le coordinate del punto {P}:

6 \cdot \dfrac{1}{2}-2+k=0

da cui otteniamo il valore di {k}:

k=-1

In conclusione sostituendo {k=-1} nell’equazione della generica retta {r} perpendicolare a {r_1} otteniamo l’equazione di {r_2} in forma implicita:

r_2: 6x-y-1=0

Ora non resta che passare alla forma esplicita:

r_2: y=6x-1

ed abbiamo così concluso anche l’ultimo di questa serie di esercizi sulle rette perpendicolari (relazione di perpendicolarità tra rette).

Un saluto a tutti voi e buon proseguimento con SìMatematica! 🙂