Esercizi sulla retta in forma implicita

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Esercizi sulla retta nel piano e coordinate cartesiane

Proponiamo in questa scheda una serie di esercizi svolti sull’equazione di una retta in forma implicita. Ricordiamo che l’equazione in forma implicita di una retta del piano è ax+by+c=0, con a, b, c coefficienti reali e con a e b mai contemporaneamente nulli.

Nella prima parte della scheda presenteremo esercizi sull’equazione di una retta in forma implicita nei quali sarà richiesto di passare dalla forma implicita a quella esplicita e viceversa. Nella seconda parte ci occuperemo invece di esercizi nei quali, a partire dall’equazione di una retta del piano in forma implicita, verrà richiesto di determinare il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine della retta stessa.

Infine, vedremo come scrivere l’equazione in forma implicita di una retta a partire dalle coordinate di due suoi punti, o dalle coordinate di un punto e dal coefficiente angolare, ed infine dalla coordinate di un punto e dall’ordinata all’origine.

Esercizi svolti e commentati sull’equazione di una retta in forma implicita

Prima parte: passaggio dalla forma implicita alla forma esplicita e viceversa

Esercizio 1

Riscrivere in forma esplicita l’equazione {2x+y-4=0}.

Il nostro obiettivo è riscrivere l’equazione della retta in esame nella forma:

y=mx+q

Cominciamo isolando la {x} al primo membro:

y=-2x+4

Come sempre ricordiamo di cambiare il segno dei termini che trasportiamo.

In questo caso abbiamo già terminato, poiché la {y} aveva già in partenza coefficiente uguale a {1}.

Esercizio 2

Riscrivere in forma esplicita l’equazione {3x-2y+7=0}.

Come nell’esercizio precedente, cominciamo isolando il termine in {y} al primo membro:

-2y=-3x-7 \quad \Rightarrow \quad 2y=3x+7

Dividiamo entrambi i membri dell’equazione per il coefficiente della {y}, ovvero per {2}:

y=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{7}{2}

Abbiamo così riscritto l’equazione data nella forma esplicita.

Esercizio 3

Proseguiamo gli esercizi sull’equazione di una retta in forma implicita con esercizi nei quali ci viene richiesto di passare dalla forma esplicita a quella implicita.

Riscrivere in forma implicita l’equazione {y=-\dfrac{4}{5}x+\dfrac{7}{9}}.

In questo caso abbiamo un’equazione nella forma esplicita {y=mx+q}, e dobbiamo ricondurla alla forma implicita:

ax+by+c=0

Per fare questo, cominciamo trasportando tutti i termini al primo membro:

y+\dfrac{4}{5}x-\dfrac{7}{9}=0

Procediamo mettendo tutti i termini a denominatore comune, in modo da poter poi ricondurre l’equazione alla forma intera:

\dfrac{45y+36x-35}{\cancel{45}}=0 \quad \Rightarrow \quad 45y+36x-35=0

Infine riordiniamo i termini:

36x+45y-35=0

Abbiamo così riscritto l’equazione di partenza nella forma implicita. L’equazione appena ottenuta è infatti della forma {ax+by+c=0} con {a=36}, {b=45} e {c=-35}.

Esercizio 4

Riscrivere in forma implicita l’equazione {y=\dfrac{3}{4}x+11}.

Abbiamo, procedendo in modo del tutto simile a quello dell’esercizio precedente:

y-\dfrac{3}{4}x-11=0; \qquad -3x+4y-44=0

Infine, invertendo per un discorso estetico i segni di tutti i termini:

3x-4y+44=0

E questa è l’equazione in forma implicita della retta in esame.

Seconda parte: esercizi sulla determinazione del coefficiente angolare e dell’ordinata all’origine a partire dall’equazione in forma implicita di una retta del piano

Esercizio 5

Determinare il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine della retta di equazione {3x-y=4}.

Riscriviamo anzitutto l’equazione in forma implicita. Per fare ciò basta portare tutti i termini al primo membro:

3x-y-4=0

Abbiamo ora un’equazione della forma {ax+by+c=0} con {a=3, b=-1, c=-4}. Di conseguenza, ricordando che:

m=-\dfrac{a}{b}, \qquad q=-\dfrac{c}{b}, \qquad b \neq 0

nel nostro caso si ha:

m=-\dfrac{3}{-1}=3, \qquad q=-\dfrac{c}{b}=-\dfrac{-4}{-1}=-4

Esercizio 6

Determinare il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine della retta di equazione {6y=4x-1}.

In questo caso appare conveniente passare alla forma esplicita {y=mx+q}. Per fare ciò basta infatti isolare la {y} dividendo entrambi i membri dell’equazione di partenza per {6}. Otteniamo:

y=\dfrac{4}{6}x-\dfrac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{6}

Così, in conclusione abbiamo, per confronto tra l’equazione appena ottenuta e l’equazione {y=mx+q}:

m=\dfrac{2}{3}, \qquad q=-\dfrac{1}{6}

Esercizio 7

Determinare coefficiente angolare ed ordinata all’origine della retta di equazione {3x+3y-4=0}.

L’equazione è in forma implicita con {a=3, b=3, c=-4}. Di conseguenza possiamo scrivere:

m=-\dfrac{a}{b}=-\dfrac{3}{3}=-1, \qquad q=-\dfrac{c}{b}=-\dfrac{-4}{3}=\dfrac{4}{3}

Abbiamo così individuato i valori cercati del coefficiente angolare e dell’ordinata all’origine relativi alla retta di equazione in forma implicita data.

Veniamo ora alla parte finale di questa serie di esercizi sull’equazione di una retta in forma implicita. Negli esercizi a seguire ci occuperemo di determinare l’equazione in forma implicita di una data retta a partire rispettivamente da:

• coordinate di due punti appartenenti alla retta;
• coefficiente angolare e coordinate di un punto appartenente alla retta;
• infine, coefficiente angolare ed ordinata all’origine della retta.

Terza parte: esercizi su come scrivere l’equazione in forma implicita di una retta noti due punti, un punto e il coefficiente angolare ed infine un punto e l’ordinata all’origine

Esercizio 8

Scrivere l’equazione in forma implicita della retta del piano passante per i punti {P_1=(x_1,x_2)=(-4,5)} e {P_2=(x_2,y_2)=(-3,7)}.

Tra le varie strade possibili per risolvere il problema, possiamo utilizzare l’equazione della retta del piano passante per due punti assegnati:

\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}

Nel nostro caso abbiamo:

\begin{align*} &\dfrac{y-5}{7-5}=\dfrac{x-(-4)}{-3-(-4)}; \\ \\ & \dfrac{y-5}{2}=\dfrac{x+4}{1}\end{align*}

A questo punto trasportiamo tutti i termini al primo membro:

\dfrac{y-5}{2}-(x+4)=0; \qquad \dfrac{y-5}{2}-x-4=0

Ora mettiamo tutti i termini a denominatore comune, quindi sommiamo i termini simili:

\dfrac{y-5-2x-8}{\cancel{2}}=0; \qquad \Rightarrow \qquad -2x+y-13=0

Infine invertendo per un discorso estetico i segni di tutti i termini, perveniamo alla forma finale dell’equazione cercata:

2x-y+13=0

Questa è l’equazione in forma implicita della retta in esame.

Esercizio 9

Scrivere l’equazione in forma implicita della retta avente coefficiente angolare {m=-\dfrac{5}{8}} e passante per il punto {P_0=(x_0, y_0)=(-2,-7)}.

L’idea è quella di utilizzare l’equazione di una retta passante per un punto {P_0} e con coefficiente angolare {m} noto:

y-y_0=m(x-x_0)

Nel nostro caso abbiamo:

y-(-7)=-\dfrac{5}{8}\left[ x-(-2)\right]

da cui otteniamo:

y+7=-\dfrac{5}{8}x-\dfrac{10}{8} \qquad \Rightarrow \qquad y+7+\dfrac{5}{8}x+\dfrac{10}{8}=0

Riordinando i termini e sommando tra loro i termini simili:

\dfrac{5}{8}x+y+\dfrac{56+10}{8}=0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{5}{8}x+y+\dfrac{33}{4}=0

A questo punto dobbiamo ricondurre l’equazione alla forma intera. Mettendo tutti i termini a denominatore comune si ha:

\dfrac{5x+8y+66}{\cancel{8}}=0

e quindi in conclusione perveniamo all’equazione nella forma implicita:

5x+8y+66=0

Esercizio 10

Veniamo ora all’ultimo di questa serie di esercizi sull’equazione in forma implicita di una retta del piano, nel quale abbiamo come dati di partenza le coordinate di un punto appartenente alla retta e l’ordinata all’origine.

Scrivere l’equazione in forma implicita della retta del piano note le coordinate di un suo punto {P_1=(x_1, y_1)=(2,1)} e l’ordinata all’origine {q=5}.

Osserviamo che se è nota l’ordinata all’origine di una retta, allora il punto {(0, q)} appartiene necessariamente alla retta. Ciò discende dalla definizione di ordinata all’origine. Così nel nostro caso la retta in esame passa per i due punti:

P_1=(x_1, y_1)=(2,1), \qquad P_2=(x_2, y_2)=(0,5)

Di conseguenza, utilizzando ad esempio l’equazione della retta passante per due punti abbiamo:

\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{y-1}{5-1}=\dfrac{x-2}{0-2}

da cui otteniamo l’equazione:

\dfrac{y-1}{4}-\dfrac{2-x}{2}=0

ovvero:

y-1-4+2x=0 \quad \Rightarrow \quad 2x+y-5=0

Abbiamo così ottenuto l’equazione della retta in esame espressa in forma implicita.

Conclusioni

Per quanto riguarda questa serie di esercizi sull’equazione di una retta in forma implicita è tutto. Per ulteriori chiarimenti rimandiamo alla lezione teorica correlata (vedi link a seguire).

Un saluto a tutti voi e buon proseguimento con SìMatematica! 🙂