Insiemi equipotenti (o equipollenti)

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Insiemi

Due insiemi si dicono equipotenti (o equipollenti) se presentano la stessa potenza. In particolare, dati due insiemi A e B finiti, i due insiemi si dicono equipotenti se hanno la stessa cardinalità. Ricordiamo infatti che nel caso degli insiemi finiti, cardinalità e potenza sono dei sinonimi. Così, i termini cardinalità e potenza (o anche ordine) si riferiscono per gli insiemi finiti alla stessa definizione.

E’ importante osservare che le nozioni di insiemi uguali ed insiemi equipotenti sono differenti. Infatti, due insiemi si dicono uguali se contengono gli stessi elementi. Quindi, nell’uguaglianza tra insiemi richiediamo non soltanto che entrambi gli insiemi contengano lo stesso numero di elementi, ma anche che questi elementi siano tutti in comune tra gli insiemi dati. Così come vedremo nel dettaglio durante la lezione, possiamo affermare che affinché due insiemi siano uguali, questi devono essere necessariamente equipotenti. Non vale però il viceversa: due insiemi possono essere equipotenti senza dover essere per forza uguali.

Conviene quindi fin da subito rimarcare la differenza tra le due definizioni di insiemi equipotenti ed insiemi uguali, in modo da evitare confusione. Durante la lezione mostreremo anche il legame che intercorre tra le definizione di cardinalità e la relazione di inclusione tra insiemi (sottoinsiemi). E per i più volenterosi, enunceremo e dimostreremo un teorema nella versione semplificata per gli insiemi finiti.

Definizione di insiemi equipotenti (e confronto con la definizione di insiemi uguali)

Due insiemi si dicono equipotenti (o equipollenti) se presentano la stessa potenza. Nel caso degli insiemi finiti, in particolare, possiamo affermare che due insiemi finiti {A} e {B} sono equipotenti (o equipollenti) se presentano la stessa cardinalità. In simboli: A, \: B, \: \text{equipotenti} \quad \iff \quad \text{card}(A)=\text{card(B)}

Come rimarcato all’inizio della lezione, prestiamo attenzione a non confondere la definizione di insiemi equipotenti con quella di insiemi uguali.

Due insiemi si dicono uguali se contengono esattamente gli stessi elementi. L’ordine (sequenza) con il quale si presentano gli elementi non conta.

Così ad esempio i due insiemi {A=\{1, \: 2, \: 3\}} e {B=\{1, \: 3, \: 2\}} sono uguali. Infatti, i due insiemi presentano gli stessi elementi, anche se in una sequenza diversa.

Osserviamo che i due insiemi {A} e {B} appena citati sono anche equipotenti. Infatti:

\text{card}(A)=3=\text{card}(B)

In generale infatti, come dimostreremo alla fine della lezione, se due insiemi sono uguali allora questi sono necessariamente equipotenti.

Tuttavia, attenzione. Se due insiemi sono equipotenti, questi non sono necessariamente uguali.

Ad esempio, consideriamo gli insiemi:

A=\{x \in \N \: | \: x < 2\}; \qquad B=\{a,b \}

Determiniamone la cardinalità. Riscriviamo anzitutto il primo insieme, rappresentato per proprietà caratteristica, con la rappresentazione estensiva:

A=\{0, \: 1\}

Ora per la cardinalità degli insiemi abbiamo:

\text{card} (A) =2, \qquad \text{card}(B)=2

Infatti entrambi gli insiemi contengono due elementi. Dunque, i due insiemi finiti hanno la stessa cardinalità e sono di conseguenza equipotenti.

Tuttavia, i due insiemi pur essendo equipotenti non sono uguali. Infatti, il primo insieme contiene i primi due numeri naturali, mentre il secondo insieme contiene le prime due lettere dell’alfabeto.

Cardinalità e relazione di inclusione (sottoinsiemi)

Consideriamo due insiemi {A} e {B} finiti. Osserviamo che se vale la relazione di inclusione:

B \subset A

ovvero se {B} è un sottoinsieme proprio di {A}, allora si ha:

\text{card}(B) < \text{card}(A)

In altre parole, se {B} è un sottoinsieme proprio di {A}, allora la cardinalità di {B} è necessariamente minore della cardinalità di {A}. Ciò significa semplicemente che se {B} è un sottoinsieme proprio di {A}, il numero di elementi di {B} è minore del numero di elementi di {A}.

Ciò discende dalla definizione di sottoinsieme proprio. Infatti, se {B \subset A}, allora esiste almeno un elemento di {A} che non appartiene all’insieme {B}. Di conseguenza, l’insieme {A} presenta almeno un elemento in più rispetto all’insieme {B}, e quindi la cardinalità dell’insieme {A} supera di almeno una unità la cardinalità dell’insieme {B}. Per cui, troviamo conferma del fatto che la cardinalità dell’insieme {B} è minore della cardinalità dell’insieme {A}. Ricapitolando:

\text{se} B \subset A  \quad \text{allora} \quad \text{card}(B) < \text{card}(A)

Ora, attenzione. Non è detto, viceversa, che se in generale un insieme {B} ha cardinalità minore di un insieme {A}, allora {B} sia un sottoinsieme di {A}. Infatti, può benissimo accadere che almeno un elemento di {B} non sia un elemento di {A}. Ad esempio, dati i due insiemi:

A=\{a, \: e, \: i\, \: o\, \: u \}, \qquad B=\{a, \: i, \: y\}

nonostante abbiamo {\text{card}(B) < \text{card}(A)}, l’insieme {B} non è un sottoinsieme di {A}, poiché l’elemento {y} di {B} non appartiene all’insieme {A}.

Ora, se {B} è un sottoinsieme proprio di {A}, sicuramente i due insiemi non sono equipotenti. Infatti, per quanto visto i due insiemi hanno differente cardinalità. Quindi se vale la relazione di inclusione:

B \subset A

allora i due insiemi {A} e {B} non sono equipotenti.

Invece, nel caso in cui l’insieme {B} sia un sottoinsieme non necessariamente proprio di {A}, ovvero si abbia:

B \subseteq A

allora i due insiemi potrebbero anche essere equipotenti. Infatti, se {B \subseteq A} si ha che {A} e {B} sono equipotenti nel particolare caso in cui questi sono uguali. In tale circostanza infatti {B} è un sottoinsieme improprio di {A}.

Per quanto detto, se {B \subseteq A} possiamo scrivere:

\text{card}(B) \leq \text{card}(A)

Teorema di Schröder–Bernstein (approfondimento)

Enunciamo per i più volenterosi il teorema di Schröder–Bernstein, in una versione semplificata relativa al caso dei soli insiemi finiti.

Siano dati due insiemi {A} e {B} finiti. Se abbiamo che {\text{card}(A) \leq \text{card}(B)} e allo stesso tempo {\text{card}(B) \leq \text{card}(A)}, allora {A} e {B} sono equipotenti.

Un’importante conseguenza del teorema è la seguente:

Se due insiemi finiti sono uguali allora questi sono necessariamente equipotenti.

Infatti, ricordiamo che se due insiemi {A} e {B} sono uguali allora valgono contemporaneamente le due relazioni di inclusione:

A \subseteq B, \qquad B\subseteq A

ma allora per quanto detto in precedenza sulla relazione di inclusione tra insiemi abbiamo contemporaneamente:

\text{card(A)} \leq \text{card}(B), \qquad \text{card}(B) \leq \text{card}(A)

Ma affinché possano valere contemporaneamente entrambe le relazioni dovrà necessariamente essere:

\text{card}(A) = \text{card}(B)

Abbiamo quindi dimostrato formalmente che affinché due insiemi finiti {A} e {B} possano dirsi uguali, questi devono essere necessariamente equipotenti. 😉

Infine, non stanchiamoci mai di ricordare che non vale il viceversa: se due insiemi sono equipotenti, non è detto che questi siano necessariamente uguali.

Per questa lezione è tutto. Nella prossima lezione faremo la conoscenza di un particolare insieme: l’insieme potenza (o insieme delle parti). Buon proseguimento!