Equazioni riducibili (equazioni con polinomio scomponibile)

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Equazioni (superiori)

Ci occupiamo ora nello specifico delle equazioni riducibili, ovvero di particolari equazioni ove al primo membro compare un polinomio scomponibile in fattori. In questa lezione tratteremo esclusivamente equazioni riducibili di grado superiore al secondo. Ricordiamo tuttavia che in alcuni casi possiamo risolvere anche equazioni di secondo grado utilizzando questa tecnica.

L’idea per risolvere le equazioni riducibili (equazioni di grado superiore al secondo con polinomio scomponibile) è quella di ridurre anzitutto l’equazione alla forma normale, e quindi scomporre il polinomio al primo membro in fattori, per poi applicare in conclusione la legge di annullamento del prodotto. In tal modo, come vedremo fra un istante, potremo ricondurci a delle equazioni di primo o secondo grado le cui eventuali soluzioni saranno anche soluzioni dell’equazione di partenza.

E’ dunque fondamentale per poter risolvere le equazioni riducibili (equazioni con polinomio scomponibile) ricordare le tecniche di scomposizione dei polinomi. In particolare, per risolvere equazioni di questo tipo è frequente l’uso della regola di Ruffini.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito come si risolvono le equazioni riducibili.

Come risolvere le equazioni riducibili

Consideriamo un’equazione del tipo:

P(x)=0

ove {P(x)} è un polinomio di grado {n} maggiore o uguale a {2}. Se è possibile scomporre il polinomio {P(x)} allora esso si dice riducibile e valendo in generale la scomposizione {P(x)=A(x)\cdot B(x) \cdot C(x) \cdot \dots} possiamo riscrivere l’equazione data come:

A(x) \cdot B(x) \cdot C(x) \cdot \dots = 0

Osserviamo che {A(x), \: B(x), \: C(x), \dots} sono polinomi aventi grado maggiore o uguale a {1}. Inoltre, la somma dei gradi di tali polinomi è uguale al grado {n} del polinomio {P(x)}.

Così, se {P(x)} è scomponibile in fattori, per la legge di annullamento del prodotto l’equazione di partenza avrà per soluzioni l’unione delle soluzioni delle equazioni:

A(x)=0, \qquad B(x)=0, \qquad C(x)=0, \dots

Ciò è intuitivo, poiché il prodotto {A(x) \cdot B(x) \cdot C(x)} risulterà nullo ogni volta che almeno uno dei fattori {A(x), \: B(x), \: C(x), \dots} sarà nullo.

Un’equazione riducibile può essere riscritta nella forma “prodotto uguale a zero”, e le eventuali soluzioni di ciascuna equazione del tipo “fattore nel prodotto uguale a zero” saranno tutte soluzioni anche dell’equazione riducibile.

Così, per risolvere le equazioni riducibili dovremo anzitutto ridurle alla forma normale, ovvero alla forma {P(x)=0}. Successivamente, si tratterà di scomporre il polinomio {P(x)} con l’opportuna tecnica e quindi uguagliare ciascun fattore della scomposizione di {P(x)} a zero, ricavando le eventuali soluzioni. E ciascuna soluzione ottenuta sarà anche soluzione dell’equazione di partenza.

Nel caso di nostro interesse, ovvero {P(x)} di grado maggiore al secondo, la tecnica più ricorrente per scomporre {P(x)} è data dalla regola di Ruffini. Tuttavia, in alcuni casi è anche possibile cavarsela con altre tecniche, quali ad esempio il raccoglimento totale oppure dei raccoglimenti parziali seguiti da un raccoglimento totale.

Consideriamo subito degli esempi.

Esercizi di esempio sulle equazioni riducibili

Esempio 1

Determinare le soluzioni dell’equazione:

-x^3+3x^2=0

L’equazione è già in forma normale. Infatti si presenta nella forma {P(x)=0} con {P(x)=-x^3+3x^2}. Poiché {P(x)} è di terzo grado anche l’equazione riducibile è di terzo grado.

Ora, per risolvere l’equazione dobbiamo scomporre {P(x)}. Effettuando un raccoglimento totale abbiamo:

x^2(-x+3) = 0

A questo punto abbiamo un prodotto uguagliato a zero. Possiamo quindi applicare la legge di annullamento del prodotto, uguagliando a zero ciascun fattore nel prodotto:

x^2= 0 \qquad -x+3=0

Dalla prima equazione (equazione di secondo grado monomia) otteniamo le due soluzioni coincidenti:

x^2=0 \quad \Rightarrow \quad x_{1,2}=0

Mentre per la seconda equazione (equazione di primo grado) abbiamo:

-x+3=0 \quad \Rightarrow \quad -x=-3 \quad \Rightarrow \quad x=3

Ora dobbiamo considerare l’unione di tutte le soluzioni ottenute (più precisamente, dobbiamo unire gli insiemi delle soluzioni di ciascuna equazione). Così in conclusione per l’equazione di partenza abbiamo le soluzioni:

x_1=0, \qquad x_2=0, \qquad x_3=3

Esempio 2

Risolvere l’equazione:

2x^4+x^3+4x^2+2x=0

Poiché tutti i termini del polinomio al primo membro contengono l’incognita {x} è evidente che possiamo eseguire un raccoglimento totale:

x(2x^3+x^2+4x+2)=0

Ragionando sul polinomio entro parentesi tonde osserviamo che si ha:

\small 2x^3+x^2+4x+2=x^2(2x+1)+2(2x+1)=(2x+1)(x^2+2)

Abbiamo eseguito due raccoglimenti parziali seguiti da un raccoglimento totale. Così l’equazione diviene:

x(2x+1)(x^2+2)=0

Ora non resta che applicare la legge di annullamento del prodotto:

x=0 \quad \vee \quad 2x+1=0 \quad \vee \quad x^2+2=0

Per la prima equazione otteniamo ovviamente la soluzione {x=0}. Per la seconda equazione abbiamo:

2x+1=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\dfrac{1}{2}

Infine, per la terza equazione (equazione pura di secondo grado):

x^2+2=0; \qquad x^2=-2 \quad \text{impossibile}

Quindi la terza equazione non ci fornisce soluzioni per l’equazione di partenza. Così in conclusione otteniamo per l’equazione di partenza le soluzioni seguenti, date dall’unione degli insiemi delle soluzioni della prima equazione e della seconda equazione:

x_1=0, \qquad x_2=-\dfrac{1}{2}

Esempio 3

Risolvere la seguente equazione:

x^3-2x^2-x+2=0

Eseguendo un raccoglimento parziale al primo membro otteniamo:

x^2(x-2)-x+2=0

I binomi {x-2} e {-x+2} sono diversi, ma opposti. Di conseguenza, nonostante le apparenze è possibile anche in questo caso eseguire il raccoglimento totale, ma a patto di lavorare opportunamente con i segni. In particolare, possiamo riscrivere l’equazione come:

x^2(x-2)-(x-2)=0

Ma a questo punto possiamo eseguire un raccoglimento totale, in modo da ritrovarci con l’equazione nella forma “prodotto uguale a zero”:

(x-2)(x^2-1)=0

Tuttavia, se ci resta scomodo lavorare con i segni in questo modo, una valida alternativa è data dalla regola di Ruffini.

Ripartiamo dall’equazione nella forma di partenza:

x^3-2x^2-x+2=0

Scomponiamo il polinomio al primo membro utilizzando la regola di Ruffini. Prima di tutto, ricerchiamo una radice del polinomio.

Testando i divisori del termine noto, ovvero i divisori di {2}, abbiamo che il valore {x=2} è una radice del polinomio {P(x)=x^3-2x^2-x+2}. Infatti:

P(2)=2^3-2 \cdot 2^2 - 2 + 2 = 2^3-2^3-2+2=0

Possiamo quindi utilizzare la regola di Ruffini, inserendo nella tabella i coefficienti del polinomio {P(x)} e la radice {2} del polinomio:

Vale dunque per il polinomio al primo membro dell’equazione di partenza la scomposizione:

x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x^2-1)

E’ possibile scomporre ulteriormente il binomio {x^2-1} ma possiamo tranquillamente fermarci qui. Infatti come vedremo immediatamente a tale binomio corrisponde un’equazione pura di secondo grado, che sappiamo risolvere.

Grazie alla scomposizione appena scritta l’equazione data diviene:

(x-2)(x^2-1)=0

Ritroviamo così anche in questo modo la stessa forma dell’equazione ottenuta eseguendo i raccoglimenti al primo membro.

Applicando a questo punto la legge di annullamento del prodotto:

x-2=0 \quad \vee \quad x^2-1 = 0

Ci ritroviamo con un’equazione di primo grado e con un’equazione di secondo grado pura, le quali risolte forniscono rispettivamente le soluzioni:

x=2 \qquad \vee \qquad x_{1,2} = \pm 1

Così in conclusione per l’equazione di partenza abbiamo le soluzioni:

x_1= 2, \qquad x_2 = -1, \qquad x_3=1

Esempio 4

Presentiamo per concludere un ultimo esempio nel quale dobbiamo esclusivamente utilizzare la regola di Ruffini. E’ importante notare che la regola di Ruffini è il metodo più generale per risolvere le equazioni riducibili di grado superiore al secondo. Per cui, i raccoglimenti possono essere utilizzati soltanto in alcuni casi particolari. Se non riesce evidente la possibilità di effettuare dei raccoglimenti al primo membro dell’equazione, conviene senza ulteriori indugi applicare direttamente la regola di Ruffini.

Vediamo come risolvere la seguente equazione riducibile:

x^4-4x^3-7x^2+34x-24=0

In questo caso non è possibile cavarcela con i raccoglimenti. Ricerchiamo allora una radice del polinomio al primo membro (testiamo tutti i divisori positivi e negativi del termine noto {-24}). Dopo qualche tentativo, ci accorgiamo che il polinomio si annulla per {x=2}. Così {2} è una radice del polinomio e possiamo costruire la tabella della regola di Ruffini. Abbiamo:

Osserviamo che il polinomio {x^3-2x^2-11x+12} può essere di nuovo scomposto con la regola di Ruffini. In modo del tutto simile a quanto fatto sinora otteniamo:

x^3-2x^2-11x+12=(x-1)(x^2-x-12)

A questo punto senza procedere ulteriormente con la scomposizione possiamo direttamente considerare l’equazione:

(x-2)(x-1)(x^2-x-12)=0

Come nei casi precedenti abbiamo scritto al posto del polinomio al primo membro presente nell’equazione di partenza la sua scomposizione in fattori.

Applicando la legge di annullamento del prodotto ci ritroviamo con le tre equazioni:

x-2 =  0 \quad \vee \quad x-1 = 0 \quad \vee \quad x^2-x-12 = 0

Dalle prime due equazioni otteniamo immediatamente le soluzioni:

x=2, \qquad x = 1

Per la seconda equazione, utilizzando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado abbiamo:

\begin{align*} & x_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \\ \\ & =\dfrac{1\pm \sqrt{1+48}}{2}= \dfrac{1 \pm 7 }{2}= \begin{cases}4 \\ \\ -3 \end{cases} \end{align*}

Così in conclusione unendo gli insiemi delle soluzioni ottenuti abbiamo per l’equazione di partenza le soluzioni:

x_1= 2, \quad x_2=1, \quad x_3=4, \quad x_4=-3

Osservazione. Avremmo potuto risolvere l’equazione di secondo grado {x^2-x-12 = 0} anche scomponendo il trinomio al primo membro in fattori (trinomio caratteristico) e quindi applicando la legge di annullamento del prodotto.

Conclusioni

Qui termina questa lezione sulle equazioni di grado superiore al secondo riducibili (equazioni con polinomio scomponibile). Come abbiamo visto, risolvere equazioni di questo tipo richiede unicamente la conoscenza delle tecniche di scomposizione dei polinomi (raccoglimenti e regola di Ruffini) e della legge di annullamento del prodotto.

Nella prossima lezione ci occuperemo delle equazioni trinomie. Buono studio!