Esercizi sulle equazioni riducibili

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Equazioni (superiori)

Proponiamo una serie di esercizi sulle equazioni riducibili, ovvero quelle particolari equazioni di grado superiore al secondo che una volta ridotte in forma normale presentano al primo membro un polinomio scomponibile in fattori.

Come vedremo, per risolvere le equazioni riducibili basta applicare l’opportuno metodo di scomposizione per ricondurre il polinomio al primo membro dell’equazione in forma normale ad un prodotto, e quindi applicare la legge di annullamento del prodotto. Per maggiori dettagli sul metodo risolutivo rimandiamo alla lezione teorica sulle equazioni riducibili (equazioni con polinomio scomponibile).

Vediamo allora subito gli esercizi sulle equazioni riducibili (equazioni con polinomio scomponibile). Nella prima parte della scheda ci occuperemo di equazioni ove compaiono polinomi che possiamo scomporre utilizzando i raccoglimenti. Nella seconda parte invece incontreremo polinomi che dovremo scomporre utilizzando la regola di Ruffini. Precisiamo comunque che laddove nello scomporre un polinomio non dovesse essere chiaro come procedere con i raccoglimenti, la regola di Ruffini è sempre valida. Tuttavia, scegliere il metodo di scomposizione più conveniente è sempre utile per rendere più semplici e rapidi i calcoli.

Esercizi svolti e commentati sulle equazioni riducibili

Prima parte: polinomi scomponibili con i raccoglimenti

Esercizio 1

Risolvere la seguente equazione:

-x^3+3x^2-x+3=0

L’equazione è già in forma normale. Infatti, al primo membro abbiamo un polinomio ridotto in forma normale, e al secondo membro abbiamo lo zero.

Dato che i termini del polinomio presentano coefficienti a due a due uguali, possiamo scomporre il polinomio al primo membro eseguendo dei raccoglimenti. Vediamo separatamente la scomposizione:

\begin{align*} & -x^3+3x^2-x+3=x^2(-x+3)+(-x+3)= \\ \\ & =(-x+3)(x^2+1) \end{align*}

In pratica abbiamo raccolto i soli primi due termini per {x^2} per poi eseguire un raccoglimento totale utilizzando la quantità {-x+3}.

Ora l’equazione di partenza diviene:

(-x+3)(x^2+1) =0

Poiché abbiamo un prodotto uguagliato a zero, possiamo applicare la legge di annullamento del prodotto (un prodotto è nullo se almeno uno dei fattori che lo compongono è nullo):

-x+3 = 0 \quad \vee \quad x^2 + 1 = 0

Ci ritroviamo così con due equazioni da risolvere. E l’unione degli insieme delle soluzioni di ciascuna equazione sarà uguale all’insieme delle soluzioni dell’equazione di partenza. Abbiamo:

-x+3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x=3

e

x^2+1=0 \quad \Rightarrow \quad x^2=-1 \quad \text{impossibile}

Così otteniamo in conclusione per l’equazione di partenza la soluzione:

x=3

Esercizio 2

Risolvere:

2x^3+3x^2-2x=0

Eseguiamo un raccoglimento totale:

x(2x^2+3x-2)=0

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto:

x=0 \quad \vee \quad 2x^2+3x-2=0

In questo modo ritroviamo immediatamente la soluzione {x=0} per l’equazione di partenza. Per le altre eventuali soluzioni dobbiamo risolvere l’equazione di secondo grado:

 2x^2+3x-2=0

Applicando la formula risolutiva:

\begin{align*} & x_{1,2}=\dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2}=  \dfrac{-3 \pm \sqrt{9+16}}{4}=\\ \\ & =\dfrac{-3 \pm 5}{4}=\begin{cases} -2 \\ \\ \dfrac{1}{2}\end{cases}\end{align*}

Così mettendo insieme tutte le soluzioni ottenute abbiamo per l’equazione di partenza le soluzioni:

x_1=0, \quad x_2=-2, \quad x_3=\dfrac{1}{2}

Esercizio 3

Proseguiamo gli esercizi sulle equazioni riducibili (equazioni con polinomio scomponibile) con la seguente equazione:

3x^4-2x^2=0

Eseguiamo un raccoglimento:

x^2(3x^2-2)=0

Applicando la legge di annullamento del prodotto:

x^2 = 0 \quad \vee \quad 3x^2-2=0

Per la prima equazione otteniamo le soluzioni coincidenti:

x_{1,2} = 0 

Quanto alla seconda equazione:

 3x^2-2=0

si tratta di un’equazione binomia che ridotta in forma normale diviene:

x^2=\dfrac{2}{3}

da cui otteniamo le soluzioni:

x_{1,2}=\pm \sqrt{\dfrac{2}{3}}

Così mettendo insieme tutte le soluzioni ottenute abbiamo per l’equazione di partenza:

x_1=0, \quad x_2=0, \quad x_3 = \sqrt{\dfrac{2}{3}}, \quad x_4=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}

Esercizio 4

Veniamo all’ultimo degli esercizi relativi alle equazioni riducibili che possono essere svolti utilizzando i raccoglimenti. Negli esercizi successivi entreremo in azione invece con la regola di Ruffini.

5x^4+3x^3+5x^2+3x=0

Eseguiamo dei raccoglimenti parziali:

x^3(5x+3)+x(5x+3)=0

A questo punto eseguiamo un raccoglimento totale, in modo da ottenere al primo membro un prodotto:

(5x+3)(x^3+x)=0

Applichiamo la legge di annullamento del prodotto:

5x+3=0 \quad \vee \quad x^3+x=0

Per la prima equazione otteniamo immediatamente la soluzione:

x=-\dfrac{3}{5}

Veniamo alla seconda equazione:

 x^3+x=0

Eseguiamo un raccoglimento al primo membro:

x(x^2+1)=0

Applicando la legge di annullamento del prodotto otteniamo:

x=0 \quad \vee \quad x^2+1=0

Dalla prima equazione otteniamo immediatamente la soluzione {x=0}. La seconda equazione è invece impossibile (la quantità al primo membro infatti non si annulla mai).

Così mettendo insieme le soluzioni sin qui ottenute abbiamo per l’equazione di partenza le radici:

x_1=-\dfrac{3}{5}, \quad x_2=0

Seconda parte: equazioni riducibili con la scomposizione mediante la regola di Ruffini

Esercizio 5

Risolvere la seguente equazione (utilizzare la regola di Ruffini):

x^3+x^2-14x-24 = 0

Scomponiamo il polinomio al primo membro utilizzando la regola di Ruffini, in modo da poter poi risolvere l’equazione applicando la legge di annullamento del prodotto.

Osserviamo che il polinomio ha come zero il valore {-2} (gli zeri vanno ricercati per tentativi tra i divisori del termine noto {-24}). Di conseguenza, per il teorema di Ruffini il polinomio è divisibile per {x+2}. Eseguendo la divisione otteniamo:

(x^3+x^2-14x-24):(x+2)=x^2-x-12 \qquad \text{resto} \: 0

Vale quindi la scomposizione:

x^3+x^2-14x-24 = (x^2-x-12)(x+2)

Infatti, considerata una divisione con resto zero, il prodotto del quoziente per il divisore è uguale al dividendo.

Ora, anche il polinomio {x^2-x-12} appena ottenuto è divisibile. In particolare, poiché il valore {-3} è un suo zero, per il teorema di Ruffini il polinomio è divisibile per {x+3}. Infatti abbiamo:

(x^2-x-12):(x+3)=x-4 \qquad \text{resto} \: 0

e si ha la scomposizione:

x^2-x-12=(x-4)(x+3)

Così in conclusione per il polinomio al primo membro dell’equazione vale la scomposizione:

x^3+x^2-14x-24 = (x^2-x-12)(x+2)=(x-4)(x+3)(x+2)

Di conseguenza l’equazione di partenza può essere riscritta come:

(x-4)(x+3)(x+2)=0

Dato che abbiamo un prodotto uguagliato a zero possiamo applicare la legge di annullamento del prodotto:

x-4 = 0 \quad \vee \quad x+3 = 0 \quad \vee \quad x+2=0

Risolvendo ciascuna equazione di primo grado otteniamo per l’equazione di partenza le soluzioni:

x_1=4, \quad x_2=-3, \quad x_3=-2

Esercizio 6

Proseguiamo gli esercizi sulle equazioni riducibili con il seguente:

7x^3+10x^2-11x-6=0

Cominciamo ricercando uno zero del polinomio tra i divisori di {-6}. Eventualmente, poiché il coefficiente del monomio di grado massimo è diverso da {1}, se necessario dovremo ricercare gli zeri del polinomio anche tra le frazioni che si ottengono dal rapporto tra i divisori del termine noto (presi positivi e negativi) e i divisori del coefficiente del termine di grado massimo (questi presi sempre con lo stesso segno).

In questo caso ce la caviamo in modo semplice: uno zero del polinomio è infatti dato dal valore {x=1}. Così il polinomio è divisibile per {x-1} ed abbiamo:

(7x^3+10x^2-11x-6):(x-1)=7x^2+17x+6 \qquad \text{resto}\: 0

Così possiamo scrivere intanto la scomposizione:

7x^3+10x^2-11x-6=(7x^2+17x+6)(x-1)

Ora ricerchiamo uno zero per il polinomio {7x^2+17x+6}. Anche in questo caso consideriamo prima di tutto i soli divisori del termine noto. Se non troveremo zeri, allora proseguiremo considerando le frazioni.

In questo modo troviamo uno zero dato dal valore {x=-2}. Così per il teorema di Ruffini la seguente divisione restituirà un quoziente intero:

(7x^2+17x+6):(x+2)=(7x+3) \qquad \text{resto} \: 0

e vale dunque la scomposizione:

7x^2+17x+6=(7x+3)(x+2)

Così per il polinomio al primo membro dell’equazione di partenza abbiamo:

\begin{align*} &7x^3+10x^2-11x-6=(7x^2+17x+6)(x-1)= \\ \\ &=(7x+3)(x+2)(x-1) \end{align*}

Applicando la legge di annullamento del prodotto ci ritroviamo con l’equazione:

(7x+3)(x+2)(x-1)=0

In conclusione abbiamo le soluzioni:

x_1 = -\dfrac{3}{7}, \qquad x_2 = -2, \qquad x_3 = 1

Esercizio 7

Concludiamo questa serie di esercizi sulle equazioni riducibili di grado superiore al secondo con il seguente:

24x^3-14x^2-x+1=0

Il polinomio al primo membro presenta coefficiente del termine di grado massimo diverso da {1}. Di conseguenza, come sappiamo dovremo ricercare gli zeri tra i divisori del termine noto e se necessario anche tra le frazioni date dal rapporto tra i divisori positivi e negativi del termine noto e i divisori del coefficiente del termine di grado massimo, presi sempre con lo stesso segno.

In questo caso osserviamo che i divisori del termine noto, ovvero i valori {-1} e {1} non annullano il polinomio. Di conseguenza, dobbiamo ricercare gli zeri tra le frazioni del tipo {\dfrac{1}{2}, \: -\dfrac{1}{2}, \: \dfrac{1}{4}, \: -\dfrac{1}{4}}, ovvero da tutte le frazioni date dal rapporto tra il termine noto (preso positivo e negativo) e il coefficiente del termine di grado massimo (preso sempre con lo stesso segno, ad esempio il più).

Individuiamo in questo modo uno zero per il polinomio, dato dalla frazione {\dfrac{1}{2}}. Dunque per il teorema di Ruffini il polinomio è divisibile per {x-\dfrac{1}{2}}, ed eseguendo la divisione mediante la regola di Ruffini otterremo un quoziente esatto (resto zero). Così abbiamo:

(24x^3-14x^2-x+1):\left(x-\dfrac{1}{2} \right)=24x^2-2x-2 \qquad \text{con resto} \: 0 

Di conseguenza vale la scomposizione:

24x^3-14x^2-x+1=(24x^2-2x-2)\left(x-\dfrac{1}{2} \right)

Possiamo quindi riscrivere l’equazione di partenza come:

(24x^2-2x-2)\left(x-\dfrac{1}{2} \right)=0

ed applicando la legge di annullamento del prodotto abbiamo le due equazioni:

24x^2-2x-2=0 \quad \vee \quad x-\dfrac{1}{2}=0

L’unione degli insiemi delle soluzioni delle due equazioni darà l’insieme delle soluzioni dell’equazione di partenza. Per la prima equazione (di secondo grado) abbiamo:

24x^2-2x-2=0 \quad \iff \quad 12x^2-x-1=0

Applicando la formula risolutiva:

\begin{align*}x_{1,2}=\dfrac{1 \pm \sqrt{1-4 \cdot 12 \cdot (-1)}}{2 \cdot 12}=\dfrac{1 \pm \sqrt{1+48}}{24}=  \dfrac{1 \pm \sqrt{49}}{24}=\begin{cases}\dfrac{1}{3} \\ \\ -\dfrac{1}{4} \end{cases}\end{align*}

Passiamo ora alla seconda equazione:

x-\dfrac{1}{2}=0

da cui otteniamo immediatamente la soluzione:

x=\dfrac{1}{2}

Così in conclusione per l’equazione data otteniamo le soluzioni:

x_1=\dfrac{1}{3}, \qquad x_2=-\dfrac{1}{4}, \qquad x_3=\dfrac{1}{2}

Per quanto riguarda gli esercizi sulle equazioni riducibili di grado superiore al secondo (equazioni con polinomio scomponibile) è tutto. Come evidente il trucco per risolvere equazioni di questo tipo è dato dal saper scomporre i polinomi utilizzando i raccoglimenti e/o la regola di Ruffini. Buon proseguimento con SìMatematica!