Radice con indice n

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Radicali

Cominciamo lo studio dei radicali introducendo il concetto di radice con indice n. Ci occuperemo quindi dell’operazione di estrazione di radice n-esima, ovvero dell’estrazione di una radice avente per indice un qualsiasi numero intero positivo.

Per l’operazione di estrazione della radice con indice n distingueremo i due casi di indice n pari e di indice n dispari. Vedremo infatti che mentre nel caso di indice dispari sarà possibile estrarre la radice n-esima anche di un numero negativo, nel caso di indice pari potremo estrarre la radice con indice n solamente nel caso di numeri positivi.

Ma vediamo subito nel dettaglio l’operazione di estrazione di radice con indice n.

Radice con indice n: definizione

L’operazione di estrazione di radice con indice {n} (con {n} intero positivo) consiste, dato un numero reale {a}, nel trovare un numero reale {b} tale che:

\boxed{b^n = a}, \qquad n \neq 0, \: n \in \mathbb{Z}^{+}

Il numero {b} rappresenta la radice con indice n di {a} e si indica con:

b= \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}

Il simbolo {\sqrt[n]{a}} si legge “radice n-esima di {a}” ed è detto radicale avente indice {n}, mentre la quantità {a} (ovvero ciò che è contenuto all’interno della radice) si chiama radicando.

Osservazione. Un’espressione con radici si dice radicale soltanto se non è esprimibile in forma esatta senza l’uso delle radici stesse. Ad esempio, l’espressione {\sqrt{25}} non è un radicale. Infatti si ha {\sqrt{25}=5}. Invece, {\sqrt{3}} è un radicale poiché effettivamente rappresenta un numero irrazionale.

Radice n-esima con indice n pari

Se l’indice {n} è pari, l’operazione può essere eseguita soltanto se il numero di partenza {a} è positivo. Infatti, non è possibile calcolare la potenza con esponente pari di nessun numero ottenendo un risultato negativo.

Consideriamo ad esempio il caso di indice {n=2} (indice pari, radice quadrata). In tale circostanza, dato un qualsiasi numero negativo, sarà impossibile estrarne la radice quadrata poiché non esiste nessun numero che moltiplicato per sé stesso restituisca un risultato negativo.

Nel caso in cui sia invece {a \geq 0} è invece possibile estrarre una radice con indice pari. E per definizione, dei due risultati possibili si sceglie soltanto quello positivo o nullo.

Radice n-esima con indice pari. Se l’indice {n} è pari, la radice con indice n di un numero {a} positivo o nullo è un numero {b} positivo o nullo che indichiamo con il simbolo {\sqrt[n]{a}} e tale che: {b^n=a}

Proviamo ad esempio ad estrarre la radice quadrata (indice pari con {n=2}) del numero {a = 25}. Dobbiamo trovare un numero {b} tale che:

b^2=25

E’ evidente che provando a sostituire alla {b} entrambi i valori {5} e {-5} la precedente condizione è comunque soddisfatta. Tuttavia, per definizione prendiamo soltanto il numero {b} positivo. Per cui scriviamo:

b=\sqrt[n]{a}=\sqrt{25}=5

Ciò discende dal fatto che consideriamo la radice quadrata (o una qualsiasi radice con indice n) come una funzione, e di conseguenza pretendiamo che l’operazione di estrazione della radice n-esima, se possibile, restituisca un unico valore.

Per cui, scritture del tipo {\sqrt{25}=\pm 5} sono del tutto sbagliate.

E’ anche sbagliato definire in generale l’estrazione di radice n-esima come l’inversa dell’elevamento a potenza con esponente {n}. Infatti ad esempio se da un lato possiamo scrivere {(-3)^2=9}, l’operazione di estrazione della radice quadrata di {9} restituisce il valore {3} (e non {-3}). Dunque non sempre l’operazione di estrazione della radice n-esima è l’inversa dell’elevamento a potenza con esponente {n}. Ciò è vero soltanto se l’indice {n} è dispari, come vedremo tra un istante.

Radice n-esima con indice n dispari

Nel caso in cui l’indice n della radice sia dispari, potremo calcolare la radice n-esima di un qualunque numero reale {a}, il quale stavolta potrà essere indifferentemente positivo, negativo o nullo. Ciò discende dal fatto che la potenza di esponente dispari di un numero negativo è ancora un numero negativo. Così, se {a} è un numero negativo e se l’indice {n} è dispari, potremo certamente trovare un numero reale {b} tale che {b^n = a}.

Radice n-esima con indice dispari. Se l’indice {n} è dispari, la radice n-esima del numero reale {a}, ovvero {\sqrt[n]{a}}, esiste per qualsiasi valore reale di {a} (positivo, negativo o nullo), ed è quel numero reale {b} (positivo, negativo o nullo) tale da soddisfare la condizione: {b^n = a}

Quindi se {n} è dispari per ogni numero reale {a} riusciamo a trovare il numero {b} tale che {b^n=a}. Di conseguenza se {n} è dispari possiamo dire che le operazioni di estrazione della radice n-esima e dell’elevamento a potenza con esponente {n} sono una l’inversa dell’altra nell’intero insieme dei numeri reali. Infatti ad esempio se:

\sqrt[7]{-128}=-2

allora abbiamo:

(-2)^7=-128

Così a partire dal valore {-128} estraendo la radice settima otteniamo il valore {-2}, ed elevando quest’ultimo valore alla potenza con esponente {7} ritroviamo il valore {-128}.

Vediamo ora dei semplici esempi sull’operazione di estrazione della radice n-esima di un numero reale.

Esempio 1

Osserviamo che le seguenti due notazioni sono equivalenti:

\sqrt{25}, \qquad25^{\frac{1}{2}}

Nelle radici quadrate l’indice della radice è sottinteso. Per cui con il simbolo {\sqrt{25}} intendiamo {\sqrt[2]{25}} (radice con indice {2}).

Otteniamo infatti, utilizzando le due differenti notazioni, lo stesso risultato:

\sqrt{25} = 5, \qquad 25^{\frac{1}{2}}=5

Anche le seguenti notazioni sono equivalenti:

\sqrt[3]{27}, \qquad 27^{\frac{1}{3}}

ed abbiamo, utilizzando ad esempio la prima notazione:

\sqrt[3]{27}=3

Così in generale avremo:

\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}

E si ha nel caso ancor più generale:

\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}

ovvero è possibile riscrivere un radicale come una potenza avente per esponente una frazione, nella quale il denominatore rappresenta l’indice della radice mentre il numeratore rappresenta l’esponente del radicando. Ad esempio:

2^{\frac{3}{8}}= \sqrt[8]{2^3}

Esempio 2

Calcolare:

\sqrt[3]{-27}

Poiché abbiamo {a=-27} e indice {n=3} (quindi indice dispari), possiamo calcolare {\sqrt[n]{a}} ovvero {\sqrt[3]{-27}}, ottenendo:

\sqrt[3]{-27}=-3

infatti:

(-3)^3=-3 \cdot (-3) \cdot (-3) = -3 \cdot 9 = -27

Esempio 3

Non è possibile calcolare il seguente radicale:

\sqrt[4]{-45}

Qui abbiamo infatti {a=-45} e {n=4} e ci ritroviamo nel caso di radicando negativo e indice della radice pari. Concludiamo quindi che è impossibile trovare un numero la cui potenza quarta (numero pari) sia negativo, e quindi il radicale appena scritto non esiste.

Affinché un radicale con indice pari esista, il radicando deve essere positivo o al più nullo, mai negativo.

Esempio 4

Calcolare:

\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}

Per quanto finora detto vale l’uguaglianza:

\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}}=\left( \dfrac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}}=

A questo punto possiamo sfruttare la proprietà del quoziente tra potenze di uguale esponente, in senso inverso:

= \dfrac{8^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}=

e quindi passando dalla notazione con esponente frazionario alla notazione con radicali:

= \dfrac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}=\dfrac{2}{3}

Esempio 5

Calcolare

\sqrt[5]{-32}

Poiché {-2^5=-32} e inoltre poiché l’indice della radice è dispari abbiamo:

\sqrt[5]{-32}=-2

Conclusioni

Per quanto riguarda questa lezione sull’estrazione di una radice con indice n è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo del problema delle condizioni di esistenza di un radicale, nel caso in cui all’interno della radice non ci ritroviamo più con un numero ma con una quantità che dipende da una variabile. Buon proseguimento con SìMatematica!