Razionalizzazione dei radicali

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Radicali

In questa lezione ci occupiamo della razionalizzazione dei radicali al denominatore o anche al numeratore di una frazione. L’idea è quella di moltiplicare o dividere una data frazione con termini sotto radice per una stessa quantità, in modo da liberarci dal simbolo di radice al numeratore o al denominatore della frazione stessa.

Ci occuperemo dei casi più comuni di razionalizzazione dei radicali con particolare riferimento alla razionalizzazione dei denominatori di frazioni. L’idea è quella di sfruttare convenientemente la proprietà del prodotto fra radicali con lo stesso indice. L’obiettivo è quello di ritrovarci con un radicale avente esponente del radicando ed indice della radice uguali, potendo quindi eliminare il simbolo di radice.

Fatte le dovute premesse vediamo subito come si esegue la razionalizzazione dei radicali (principalmente nel caso della razionalizzazione del denominatore di frazioni).

Razionalizzazione dei radicali (denominatori di frazioni) nei vari casi

Vediamo come effettuare la razionalizzazione dei radicali nei vari casi. Prima di tutto introdurremo insieme tutte le varie regole, per poi proporre degli esempi svolti relativi a ciascuna regola.

Denominatore con radice quadrata

Cominciamo lo studio della razionalizzazione dei radicali con uno dei casi più semplici.

Supponiamo di voler razionalizzare il denominatore della seguente frazione:

\dfrac{a}{\sqrt{b}}, \qquad b > 0

Il nostro obiettivo è cioè quello di eliminare il simbolo di radice dal denominatore, ottenendo una nuova frazione equivalente a quella di partenza.

Osserviamo che per {b \geq 0 }, sfruttando la regola del prodotto di radicali con lo stesso indice abbiamo:

\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ b \cdot b} = \sqrt{b^2} = b, \qquad b \geq 0

Nel nostro caso dobbiamo però imporre {b > 0} (cioè {b} positivo non nullo) poiché nella frazione di partenza dobbiamo escludere che si annulli il denominatore.

Così per razionalizzare la frazione di partenza possiamo moltiplicarla per la quantità {\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}}, che è uguale ad {1}:

\dfrac{a}{\sqrt{b}} \cdot \overset{1}{\boxed{\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}}}=\dfrac{a \sqrt{b}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{a \sqrt{b}}{b}, \qquad b > 0

Attenzione. Nel razionalizzare il denominatore o il numeratore di una frazione, stiamo sempre attenti a moltiplicare sempre sia il numeratore, sia il denominatore per la stessa quantità. Se ad esempio nel caso in esame moltiplicassimo il solo denominatore per la quantità {\sqrt{b}} commetteremmo un grave errore. Il nostro obiettivo è infatti quello di eliminare la radice al denominatore ottenendo una frazione equivalente a quella di partenza.

Otteniamo così per la razionalizzazione dei radicali al denominatore di una frazione la seguente regola generale:

Per razionalizzare il denominatore di una frazione bisogna moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione stessa per una stessa quantità tale che, moltiplicata per il denominatore della frazione, restituisca un radicale avente esponente del radicando uguale all’indice della radice. In tal modo ci si libera della radice al denominatore.

Vedremo nella rimanente parte della lezione come applicare questa regola generale ai vari casi.

Denominatore con radice cubica

Vediamo ora come razionalizzare il denominatore della seguente frazione:

\dfrac{a}{\sqrt[3]{b}}

Osserviamo che si ha:

\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{b^2}=\sqrt[3]{b^3}=b

Così possiamo moltiplicare la frazione di partenza per la quantità { \dfrac{\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b^2}}}:

\dfrac{a}{\sqrt[3]{b}} \cdot \overset{1}{\boxed{\dfrac{\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b^2}}}}=\dfrac{a\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b \cdot b^2}}=\dfrac{a \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b^3}}=\dfrac{a \sqrt[3]{b^2}}{b}

Abbiamo così tolto la radice dal denominatore della frazione, ovvero abbiamo razionalizzato il denominatore della frazione di partenza.

Caso generale di radicale con indice n e radicando con esponente m

Vediamo ora come eseguire la razionalizzazione di radicali (razionalizzazione del denominatore di una frazione) nel caso più generale di radicando del tipo {b^m} e indice della radice uguale a {n}:

\dfrac{a}{\sqrt[n]{b^m}}, \small  \qquad b > 0, \: n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, \: m \in \mathbb{N},  \:  \text{MCD}(n,m)= \pm1

Abbiamo le ipotesi di base del radicando maggiore di zero, {n} e {m} entrambi naturali (con {n} diverso da zero), indice {n} maggiore dell’esponente del radicando {m}, e infine {n} e {m} primi tra loro (non esiste per essi un divisore comune che sia diverso da {1} oppure {-1}).

Sotto queste ipotesi, e inoltre nel caso in cui sia {m < n} si può eseguire la razionalizzazione del denominatore come segue:

\begin{align*} & \dfrac{a}{\sqrt[n]{b^m}} \cdot \overset{1}{\boxed{\dfrac{\sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^{n-m}}}}}=\dfrac{a\cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m \cdot b^{n-m}}}=\dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^{m+n-m}}}=\\ \\ & = \dfrac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^n}}=\dfrac{a\sqrt[n]{b^{n-m}}}{b}, \qquad m < n \end{align*}

Nel caso in cui sia invece {m > n} occorre trasportare fuori dalla radice un opportuno fattore, in modo da ricondursi al caso {m < n}.

Denominatore dato da una somma o differenza di termini dei quali almeno uno è un radicale (radici quadrate)

Consideriamo ora il caso relativo alla razionalizzazione dei denominatori di frazioni del tipo:

\dfrac{c}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}; \qquad \dfrac{c}{\sqrt{a}\pm b}; \qquad \dfrac{c}{a \pm \sqrt{b}}

Siamo cioè nel caso in cui il denominatore della frazione è dato dalla somma di due termini, dei quali almeno uno è un radicale con indice due.

In questi casi l’idea è quella di utilizzare il prodotto notevole somma per differenza. In particolare, se nel denominatore compare una somma di termini allora moltiplicheremo numeratore e denominatore della frazione per la differenza di quegli stessi termini. Se invece nel denominatore compare una differenza di termini allora moltiplicheremo numeratore e denominatore della frazione per la somma di quegli stessi termini.

In tal modo al denominatore ci ritroveremo con la differenza dei quadrati dei termini, eliminando così le radici. Ad esempio:

\dfrac{c}{\sqrt{a}- \sqrt{b}} \cdot \overset{1}{\boxed{\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}}=\dfrac{c\left( \sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}=\dfrac{c\left( \sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b}

Dovranno valere le condizioni di esistenza {a \neq b}, {a \geq 0} e {b \geq 0}.

In pratica il trucco sta nel riconoscere nel prodotto:

(\sqrt{a}-\sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b})

il prodotto notevole somma per differenza {(A-B)(A+B)} ponendo {A=\sqrt{a}} e {B=\sqrt{b}}. In tal modo possiamo riscrivere il prodotto come {A^2-B^2} e quindi {(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2 = a-b}.

Denominatore dato da una somma o differenza di termini dei quali almeno uno è un radicale (radici cubiche)

Concludiamo infine le varie casistiche con le seguenti frazioni:

\dfrac{c}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}, \qquad \dfrac{c}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}

Ricordiamo che per il prodotto notevole della somma di cubi e della differenza di cubi abbiamo:

\begin{align*} & (A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3+B^3; \\ \\ &(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3 \end{align*}

Così ponendo le sostituzioni {A=\sqrt[3]{a}} e {B=\sqrt[3]{b}} e ricordando che {\left(\sqrt[n]{a} \right)^m= \sqrt[n]{a^m}} otteniamo rispettivamente:

\begin{align*}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\bigg(\overbrace{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2} }^{\text{falso quadrato di }\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}\bigg)&=\left( \sqrt[3]{a}\right)^3+\left( \sqrt[3]{b}\right)^3= \\ \\ & =a+b \end{align*}

e:

\begin{align*}\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)\bigg(\overbrace {\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}^{\text{falso quadrato di }\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} \bigg)&=\left( \sqrt[3]{a}\right)^3-\left( \sqrt[3]{b}\right)^3= \\ \\ & =a-b \end{align*}

E’ importante osservare che entrambi i risultati ottenuti sono privi di termini sotto radice. Così per razionalizzare le frazioni di partenza basterà moltiplicare numeratore e denominatore per i falsi quadrati:

\begin{align*} &\dfrac{c}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \cdot \overset{1}{\boxed{ \dfrac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}} }}= \\ \\ & =\dfrac{c \left( \sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}\right)}{a+b}, \qquad a \neq -b \end{align*}

Inoltre:

\begin{align*} &\dfrac{c}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \cdot \overset{1}{\boxed{ \dfrac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}}} = \\ \\ & =\dfrac{c \left( \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}\right)}{a-b}, \qquad a \neq b \end{align*}

Vediamo ora degli esempi con radicandi numerici relativi a tutti i casi sin qui esaminati.

Esempi (razionalizzazione dei radicali nei denominatori di frazioni)

Esempio 1

Razionalizzare il denominatore della seguente frazione:

\dfrac{25}{\sqrt{5}}

Poiché {\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5 \cdot 5 } = \sqrt{25} = 5}, dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per la quantità {\sqrt{5}}. In tal modo la radice al denominatore scomparirà:

\dfrac{25}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\cancel{25}^{\scriptsize \displaystyle5} \sqrt{5}}{\cancel{5}}=5\sqrt{5}

Osserviamo che abbiamo anche potuto eseguire una semplificazione a croce.

In generale si ha {\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a } per {a \geq 0}.

Esempio 2

Razionalizzare il denominatore della seguente frazione:

\dfrac{9}{\sqrt{32}}

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per {\sqrt{32}}:

\dfrac{9}{\sqrt{32}} \cdot \dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{32}}=\dfrac{9 \sqrt{32}}{32}=

A questo punto portiamo fuori dei fattori dal radicale {\sqrt{32}} e vediamo se possiamo eseguire delle semplificazioni. Procedendo con i passaggi successivi:

=\dfrac{9 \cdot \sqrt{2^5}}{32}=\dfrac{9 \cdot 2^2 \sqrt{2}}{2^5}=\dfrac{9}{2^3}\sqrt{2}=\dfrac{9}{8}\sqrt{2}

E siamo arrivati.

Esempio 3

Razionalizzare:

\dfrac{1}{\sqrt{27}}

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per {\sqrt{27}}:

\dfrac{1}{\sqrt{27}} \cdot \dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{27}}=\dfrac{\sqrt{27}}{27}=

Ora portiamo fuori dei fattori dal radicale al numeratore e vediamo se possiamo eseguire delle semplificazioni:

= \dfrac{\sqrt{3^3}}{3^3}=\dfrac{\cancel{3} \sqrt{{3}}}{3^{\cancel{3}^{\scriptsize \displaystyle2}}}= \dfrac{\sqrt{3}}{9}

Esempio 4

Razionalizzare:

\dfrac{12}{\sqrt[3]{36}}

Attenzione: abbiamo una radice cubica. Dobbiamo quindi moltiplicare numeratore e denominatore per la quantità {\sqrt[3]{36^2}}. Infatti abbiamo:

\sqrt[3]{36} \cdot \sqrt[3]{36^2}=\sqrt[3]{36 \cdot 36^2}=\sqrt[3]{36^3}=36

Così nel caso in esame:

\dfrac{12}{\sqrt[3]{36}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{36^2}}{\sqrt[3]{36^2}}=\dfrac{\cancel{12} \sqrt[3]{36^2}}{\cancel{36}^{\scriptsize \displaystyle3}}=\dfrac{ \sqrt[3]{3^4 \cdot 2^4 }}{3}=\dfrac{6\sqrt[3]{6}}{3}=2\sqrt[3]{6}

Per maggiore chiarezza vediamo al rallentatore il passaggi per portare fuori dei fattori dal radicale al numeratore:

\small \sqrt[3]{36^2}=\sqrt[3]{(6^2)^2}=\sqrt[3]{[(3 \cdot 2) ^2]^2 }=\sqrt[3]{(3 \cdot 2)^4}=\sqrt[3]{3^4 \cdot 2^4}=3 \cdot 2 \sqrt[3]{3 \cdot 2 }=6 \sqrt[3]{6}

Abbiamo in pratica scomposto la base del radicando in fattori primi, per poi utilizzare le proprietà delle potenze (potenze di potenze e proprietà del prodotto di potenze aventi uguale esponente, quest’ultima applicata in senso inverso). Abbiamo quindi portato fuori dal simbolo di radice i fattori {3} e {2}.

Esempio 5

Razionalizzare:

\dfrac{5}{\sqrt[4]{125}}

Riscriviamo anzitutto il radicando al denominatore come potenza:

\dfrac{5}{\sqrt[4]{125}}=\dfrac{5}{\sqrt[4]{5^3}}

Per eliminare la radice al denominatore desideriamo avere sotto radice la quantità {5^4} (esponente uguale all’indice). Ma per fare questo basta moltiplicare per {\sqrt[4]{5}}. Ciò discende dalla regola del prodotto fra radicali con lo stesso indice e dalle proprietà delle potenze (prodotto fra potenze di uguale base). In particolare, {5^3 \cdot 5 = 5^4}. Di conseguenza:

\dfrac{5}{\sqrt[4]{5^3}} \cdot \dfrac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{5}}=\dfrac{5 \sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{5^4}}=\dfrac{\cancel{5}\sqrt[4]{5}}{\cancel{5}}=\sqrt[4]{5}

e siamo arrivati.

Esempio 6

Razionalizzare:

\dfrac{12}{\sqrt{7}-1}

Al denominatore abbiamo in questo caso la differenza di due termini dei quali uno è un radicale. Utilizzando il prodotto notevole della somma per differenza di termini abbiamo:

\left( \sqrt{7}-1\right)\left( \sqrt{7}+1\right)=\left( \sqrt{7}\right)^2-1^2=7-1

Possiamo quindi razionalizzare il denominatore della frazione di partenza moltiplicando numeratore e denominatore per la quantità {\sqrt{7}+1}:

\dfrac{12}{\sqrt{7}-1} \cdot \dfrac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}+1}=\dfrac{12 \left (\sqrt{7}+1\right)}{7-1}=\dfrac{\cancel{12}^{\scriptsize \displaystyle2}\left( \sqrt{7}+1\right)}{\cancel{6}}=2\left( \sqrt{7}+1\right)

Esempio 7

Razionalizzare:

\dfrac{6}{\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{9}}

Ci ritroviamo al denominatore con una differenza tra radici cubiche. L’idea è quella di utilizzare la regola della differenza tra cubi. Infatti:

\small \underbrace {\left( \sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{9}\right)}_{A-B} \cdot \underbrace{\left[\left( \sqrt[3]{6}\right)^2 +\sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{9}+\left(\sqrt[3]{9}\right)^2\right]}_{A^2+AB+B^2}=\underbrace{\left( \sqrt[3]{6}\right)^3-\left( \sqrt[]{9}\right)^3}_{A^3-B^3}

e quindi:

\left( \sqrt[3]{6}- \sqrt[3]{9}\right) \cdot \left( \sqrt[3]{6^2}+\sqrt[3]{6 \cdot 9}+ \sqrt[3]{9^2}\right)=6-9

ovvero:

\left( \sqrt[3]{6}- \sqrt[3]{9}\right) \cdot \left( \sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{54}+ \sqrt[3]{81}\right)=-3

A questo punto non resta quindi che moltiplicare numeratore e denominatore della frazione di partenza per la quantità {\left( \sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{54}+ \sqrt[3]{81}\right)}:

\small \begin{align*} & \dfrac{6}{\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{9}}\cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{54}+ \sqrt[3]{81}\right)}{\left( \sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{54}+ \sqrt[3]{81}\right)}=\dfrac{6 \cdot \left( \sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{54}+ \sqrt[3]{81}\right)}{-3}= \\ \\ & = -2 \left( \sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{3^3 \cdot 2}+ \sqrt[3]{3^4}\right)=-2 \left( \sqrt[3]{36}+3\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{3}\right)\end{align*}

e ci siamo.

Razionalizzazione dei radicali nel caso in cui bisogna riconoscere una differenza tra termini

Prima di passare ai casi di radicali letterali, vogliamo concentrarci su un ultimo caso relativo ai radicali con radicandi numerici. Parliamo della circostanza nella quale per eseguire la razionalizzazione occorre riconoscere una differenza tra termini.

Consideriamo ad esempio la seguente frazione:

\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3}}

Apparentemente il denominatore non è riconducibile a nessuno dei casi precedentemente visti. Abbiamo infatti una somma algebrica di più di due termini.

Tuttavia, basta riconoscere al denominatore la differenza tra la quantità {\sqrt{5}+\sqrt{2}} e la quantità {\sqrt{3}}. Così abbiamo:

\begin{align*} & \underbrace{\bigg[\bigg(\overbrace{ \sqrt{5}+\sqrt{2}}^{A}\bigg)-\overbrace{\sqrt{3}\bigg]}^{B}}_{A-B} \cdot  \underbrace{\bigg[\bigg(\overbrace{ \sqrt{5}+\sqrt{2}}^{A}\bigg)+\overbrace{\sqrt{3}\bigg]}^{B}}_{A+B} =\\ \\ & =\underbrace{\left( \sqrt{5}+ \sqrt{2}\right)^2-\left( \sqrt{3}\right)^2}_{A^2-B^2} = \end{align*}

Calcoliamo i quadrati, utilizzando la regola del quadrato di un binomio per la prima quantità:

\begin{align*} & =(\sqrt{5})^2 +2\sqrt{5}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2-3=5+2\sqrt{10}+2-3=\\ \\ & =4+2\sqrt{10}\end{align*}

Così intanto dobbiamo moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione di partenza per la quantità {\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}}:

\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{3}}  \cdot \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}} =\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4+2\sqrt{10}}

Ma a questo punto ci siamo ricondotti ad un caso a noi noto. Infatti il denominatore è la somma di due termini dei quali uno è un radicale. Così, non resta che procedere razionalizzando il denominatore dell’ultima frazione scritta:

\begin{align*} & \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4+2\sqrt{10}} \cdot \dfrac{4-2\sqrt{10}}{4-2\sqrt{10}}= \\ \\ & =\dfrac{4\sqrt{5}-2\sqrt{5}\sqrt{10}+4\sqrt{2}-2 \sqrt{2}\sqrt{10}+4\sqrt{3}-2\sqrt{3}\sqrt{10}}{16-40}= \end{align*}

A questo punto eseguiamo i prodotti fra radicali, quindi portiamo fuori dei fattori dalle radici in modo da avere dei radicali simili. Successivamente, sommiamo i radicali simili tra loro:

\begin{align*} & =\dfrac{4\sqrt{5}-2\sqrt{50}+4\sqrt{2}-2\sqrt{20}+4\sqrt{3}-2\sqrt{30}}{-24} = \\ \\ & = \dfrac{\cancel{4\sqrt{5}}-10\sqrt{2}+4\sqrt{2}-\cancel{4\sqrt{5}}+4\sqrt{3}-2\sqrt{30}}{-24}= \\ \\ &=\dfrac{(-10+4) \sqrt{2}+4\sqrt{3}-2\sqrt{30}}{-24} = \\ \\ & = \dfrac{-6\sqrt{2}+4\sqrt{3}-2\sqrt{30}}{-24} = \dfrac{\cancel{2}(-3\sqrt2{}+2\sqrt{3}-\sqrt{30}}{-\cancel{24}^{\scriptsize \displaystyle12}} = \\ \\ & =\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{30}}{12}\end{align*}

Finalmente siamo arrivati. Infatti al denominatore non compare più la radice ed abbiamo quindi eseguito la razionalizzazione del denominatore della frazione di partenza.

Razionalizzazione dei radicali ai numeratori

Talvolta può essere necessario razionalizzare il numeratore di una frazione e non il denominatore. Questo sarà il caso di alcuni limiti di funzioni irrazionali, come avrete modo di vedere nel prosieguo dei vostri studi.

Esempio

Razionalizzare il numeratore della seguente frazione:

\dfrac{\sqrt{6}+ \sqrt{2}}{4\sqrt{2}}

Al numeratore abbiamo una somma di radicali. Dovremo quindi moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per la differenza di quegli stessi radicali:

\begin{align*} & \dfrac{\sqrt{6}+ \sqrt{2}}{4\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\dfrac{6-2}{4\sqrt{2}\sqrt{6}-4\sqrt{2}\sqrt{2}}= \\ \\ & =\dfrac{\cancel{4}}{\cancel{4}(\sqrt{12}-\sqrt{4})}=\dfrac{1}{\sqrt{2^2 \cdot 3}-2} =\dfrac{1}{2\sqrt{3}-2} = \dfrac{1}{2(\sqrt{3}-1)}\end{align*}

Razionalizzazione dei radicali ai denominatori di frazioni con radicandi letterali

Vediamo ora come si effettua la razionalizzazione di radicali nei casi in cui all’interno delle radici siano presenti delle lettere. In generale osserviamo che le regole da seguire sono le stesse relative a tutte le casistiche esposte sinora, però con la differenza di dover stabilire le condizioni di esistenza della frazione di partenza e ragionare su di esse. In particolare, la forma razionalizzata che otterremo dovrà avere lo stesso insieme di definizione della frazione di partenza.

Supponiamo ad esempio di dover razionalizzare il denominatore della frazione:

\dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}

Osserviamo che per i radicali al denominatore abbiamo rispettivamente le condizioni di esistenza:

a \geq 0, \quad b \geq 0

Inoltre, per la condizione di esistenza della frazione dovrà essere:

\sqrt{a}-\sqrt{b} \neq 0  \quad \Rightarrow \quad \sqrt{a} \neq \sqrt{b} \quad \Rightarrow \quad a \neq b

Valendo tali condizioni di esistenza, possiamo eseguire la razionalizzazione del denominatore della frazione secondo le regole viste in precedenza:

\begin{align*} & \dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{a}+a\sqrt{b}-b\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}= \\ \\ & = \dfrac{(a-b)\sqrt{a}+(a-b)\sqrt{b}}{a-b} = \dfrac{\cancel{(a-b)}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\cancel{a-b}} =  \\ \\ & =\sqrt{a}+\sqrt{b}, \qquad a  \geq0 \: \wedge b \geq 0, \: a \neq b \end{align*}

Vediamo un altro esempio. Razionalizziamo il denominatore della seguente frazione:

\dfrac{1-x^2}{\sqrt[3]{x}-1}

Per il radicale {\sqrt[3]{x}} non dobbiamo imporre condizioni di esistenza poiché l’indice del radicale stesso è dispari. Per la frazione dobbiamo invece imporre la condizione:

\sqrt[3]{x}-1 \neq 0

Dobbiamo quindi escludere le soluzioni dell’equazione:

\sqrt[3]{x}-1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt[3]{x}=1 \quad \Rightarrow \quad x = 1

Di conseguenza le condizioni di esistenza della frazione data sono {x \neq 1}.

Possiamo a questo punto razionalizzare il denominatore:

\begin{align*} &\dfrac{1-x^2}{\sqrt[3]{x}-1}  \cdot \dfrac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}=\\ \\ & =\dfrac{(1-x)(1+x)\left( \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1\right)}{x-1}= \\ \\ & = \dfrac{-\cancel{(x-1)}(1+x)\left( \sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1\right)}{\cancel{x-1}} =\\ \\ & = -(1+x) \left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1 \right), \qquad x \neq 1\end{align*}

Conclusioni

Per quanto riguarda la razionalizzazione di radicali è tutto (razionalizzazione del denominatore e del numeratore di frazioni). Nella prossima lezione ci occuperemo dei radicali doppi. Buon proseguimento!