Esercizi sulle equazioni con valore assoluto

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Vediamo di svolgere insieme degli esercizi sulle equazioni con valore assoluto, per ordine di difficoltà crescente. In questo modo metteremo in pratica quanto appreso nella lezione teorica.

In particolare, ci occuperemo in questa scheda di esercizi relativi alle equazioni con valore assoluto nelle varie forme:

\begin{align*} & |p(x)|=k; \qquad |p(x)|=f(x); \qquad |p(x)|=|f(x)|; \\ \\  & |p(x)|+|q(x)|+\dots = f(x), \qquad k \in \mathbb{R} \end{align*}

ove le quantità all’interno dei valori assoluti {p(x), \: q(x), \: \dots} e la quantità fuori dai valori assoluti {f(x)} sono polinomi.

La chiave per svolgere gli esercizi sulle equazioni con valore assoluto è data dalla definizione di valore assoluto, che riproponiamo immediatamente a seguire nel caso dei polinomi.

Dato un polinomio {p(x)}, il valore assoluto del polinomio {|p(x)|} è dato da:

|p(x)|= \begin{cases}p(x) \quad \text{se} \quad p(x) > 0 \\ \\ 0 \quad \text{se} \quad p(x)=0\\ \\ -p(x) \quad \text{se} \quad p(x)< 0 \end{cases}

Il valore assoluto “forza positiva” una quantità, dunque è chiaro che se la quantità è positiva il suo valore assoluto sarà uguale alla quantità stessa. Diversamente se la quantità è negativa il valore assoluto della quantità sarà uguale alla quantità ad essa opposta. E nel caso dei polinomi, se {p(x)} è negativo avremo {|p(x)|=-p(x)}, ove {-p(x)} è il polinomio opposto di {p(x)}. Ricordiamo che il polinomio opposto si ottiene a partire dal polinomio di partenza invertendo il segno di tutti i suoi termini.

Così sarà possibile sostituire le quantità {|p(x)|}, {|q(x)|, \: \dots } presenti nell’equazione rispettivamente con le quantità {p(x)} oppure {-p(x)} e {q(x)} oppure {-q(x)} a seconda del valore della {x}.

In pratica, dobbiamo individuare degli intervalli di valori della {x} che corrispondano ciascuno ad una possibile combinazione dei segni delle quantità all’interno dei simboli di valore assoluto. E per fare ciò occorre confrontare gli studi del segno di ciascuna quantità all’interno dei simboli di valore assoluto. In tal modo potremo scrivere per ciascun intervallo di valori un sistema dato da un’equazione che si ottiene da quella di partenza eliminando opportunamente i valori assoluti e da una disequazione che rappresenta l’intervallo di valori della {x} preso in considerazione. E per ogni intervallo, le soluzioni del sistema saranno anche soluzioni per l’equazione con valore assoluto di partenza.

Quella appena illustrata è la procedura generale per risolvere le equazioni con valore assoluto. Ma come vedremo tra un istante, in alcuni casi specifici più semplici è possibile risolvere le equazioni con valore assoluto in maniera ancor più diretta.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito gli esercizi sulle equazioni con valore assoluto.

Esercizi svolti sulle equazioni con valore assoluto (varie tipologie)

Prima parte: equazioni con un valore assoluto e termine noto

Esercizio 1

Risolvere la seguente equazione con valore assoluto:

|1-x^3|=7

L’equazione è della forma {|p(x)|=k}. Se abbiamo {k>0}, basta osservare che se il valore assoluto di una quantità è uguale ad una costante, la quantità all’interno del valore assoluto sarà necessariamente uguale o alla costante presa con il suo segno, o alla stessa costante ma presa con il segno opposto. Ciò è diretta conseguenza della definizione di valore assoluto.

Così in generale per risolvere l’equazione {|p(x)|=k} con {k>0} dovremo considerare l’unione degli insiemi delle soluzioni delle seguenti equazioni:

p(x)=k \qquad \vee \qquad p(x)=-k

In parole povere, le soluzioni delle equazioni appena scritte saranno anche soluzioni dell’equazione con valore assoluto di partenza.

Importante. Se {k=0} l’equazione {|p(x)|=k} si riduce semplicemente all’equazione {p(x)=0}. Invece se {k<0} l’equazione {|p(x)|=k} è impossibile.

Nel nostro caso {k} è maggiore di zero e quindi abbiamo:

1-x^3=7 \qquad \vee \qquad 1-x^3=-7

Risolviamo la prima equazione:

-x^3=7-1; \qquad x^3=-6; \qquad x=\sqrt[3]{-6}=-\sqrt[3]{6}

Veniamo ora alla seconda equazione:

1-x^3=-7; \qquad -x^3=-8; \qquad x=\sqrt[3]{8}=2

Unendo gli insiemi delle soluzioni delle due equazioni otteniamo in conclusione per l’equazione di partenza le soluzioni:

x_1=-\sqrt[3]{6}; \qquad x_2=2

Esercizio 2

Proseguiamo gli esercizi sulle equazioni con valore assoluto con il seguente:

|x^2-x|=3

In modo del tutto simile all’esercizio precedente scriviamo:

x^2-x=3 \quad \vee \quad x^2-x=-3

Per la prima equazione abbiamo:

x^2-x=3; \qquad x^2-x-3=0

Utilizzando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:

x_{1,2}=\dfrac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{1 \pm \sqrt{13}}{2}=\begin{cases}\dfrac{1+\sqrt{13}}{2} \\ \\ \dfrac{1-\sqrt{13}}{2} \end{cases}

Veniamo ora alla seconda equazione:

x^2-x=-3; \qquad x^2-x+3=0

Abbiamo:

x_{1,2}=\dfrac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}= \dfrac{1 \pm \sqrt{1-12}}{2 \cdot 1}= \text{impossibile}

Non otteniamo soluzioni per l’equazione in quanto il determinante è negativo.

Abbiamo così per l’equazione con valore assoluto di partenza le sole soluzioni:

x_1=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}; \qquad x_2=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}

Esercizio 3

Risolvere:

|3x^2-x|+3=0

Trasportiamo il termine noto al secondo membro in modo da ricondurci alla forma {|p(x)|=k}:

|3x^2-x|=-3

Poiché abbiamo {k=-3<0} l’equazione è impossibile. Infatti un valore assoluto è sempre una quantità positiva. E quindi il primo membro non sarà mai uguale al secondo membro, che è negativo.

Esercizio 4

Risolvere:

|x^2-4x|=0

Abbiamo un’equazione con valore assoluto della forma {|p(x)|=k}, con {k=0}. Dato che il termine noto è nullo, l’equazione data si riduce ad una semplice equazione di secondo grado:

x^2-4x=0

Eseguendo un raccoglimento al primo membro abbiamo:

x(x-4)=0

Ed infine applicando la legge di annullamento del prodotto otteniamo le soluzioni dell’equazione di partenza:

x= 0 \quad \vee \quad x-4=0 \quad \Rightarrow \quad x_1=0, \qquad x_2=4

Seconda parte: esercizi sulle equazioni con un valore assoluto ed un’espressione funzione della x

Ci occupiamo ora di equazioni della forma generica

|p(x)|=f(x)

Le soluzioni di equazioni di questo tipo sono date dall’unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi:

\begin{cases}p(x) = f(x) \\ \\ p(x) \geq 0 \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} -p(x)=f(x) \\ \\ p(x)<0\end{cases}

In altre parole le soluzioni che si ottengono dai sistemi appena scritti sono anche soluzioni dell’equazione con valore assoluto di partenza.

Esercizio 5

Risolvere la seguente equazione con un valore assoluto e una quantità funzione della {x}:

|x-2|=3x-1

Le soluzioni si otterranno dai sistemi seguenti:

\begin{cases} x-2 = 3x-1 \\ \\ x-2 \geq 0\end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} -(x-2)=3x-1 \\ \\ x-2 < 0\end{cases}

ovvero:

\begin{cases} x-2-3x+1=0 \\ \\ x \geq 2\end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}-x+2-3x+1=0 \\ \\ x < 2 \end{cases}

e quindi:

\begin{cases}-2x=1 \\ \\ x \geq 2  \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}-4x=-3 \\ \\ x < 2 \end{cases}

di conseguenza:

\begin{cases}x= -\dfrac{1}{2} \\ \\ x \geq 2  \end{cases} \quad \vee \quad\begin{cases} x=\dfrac{3}{4} \\ \\ x < 2\end{cases} 

Il primo sistema è impossibile in quanto la soluzione {x=-\dfrac{1}{2}} non rispetta la condizione {x \geq 2}. Invece il secondo sistema è determinato poiché infatti la soluzione {x=\dfrac{3}{4}} rispetta la condizione {x< 2}. In conclusione abbiamo quindi per l’equazione con valore assoluto di partenza la soluzione {x=\dfrac{3}{4}}.

Esercizio 6

Proseguiamo gli esercizi sulle equazioni con valore assoluto con il seguente:

\left| 3+\dfrac{1}{2}x\right|=\dfrac{1}{2}-x

Scriviamo i sistemi dai quali ricavare le soluzioni:

\begin{cases} 3+ \dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{2}-x \\ \\ 3+\dfrac{1}{2}x \geq 0\end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases}-\left(3+\dfrac{1}{2}x \right)=\dfrac{1}{2}-x \\ \\ 3+\dfrac{1}{2}x<0 \end{cases}

Otteniamo:

\begin{cases}x=-\dfrac{5}{3} \\ \\ x \geq -6 \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} x = 7 \\ \\ x < -6\end{cases}

Soltanto il primo sistema è determinato, per cui otteniamo per l’equazione di partenza la soluzione:

x=-\dfrac{5}{3}

Terza parte: esercizi sulle equazioni con valore assoluto date dall’uguaglianza tra due valori assoluti

Ci occupiamo ora di equazioni della forma:

|p(x)|=|f(x)|

Qui basta osservare che se i valori assoluti di due quantità sono tra loro uguali, allora tali quantità sono uguali oppure opposte.

Di conseguenza, le soluzioni dell’equazione di partenza si otterranno dall’unione degli insiemi delle soluzioni delle seguenti equazioni:

p(x)=f(x) \quad \vee \quad p(x)=-f(x)

Esercizio 7

Risolvere la seguente equazione:

|1-3x|=|x+1|

Ci ritroviamo effettivamente con un’equazione data dall’uguaglianza tra due valori assoluti, con {p(x)=1-3x} e {f(x)=x+1}. Abbiamo:

1-3x=x
+1 \quad \vee \quad 1-3x=-(x+1)

ovvero:

1-3x=x+1 \quad \vee \quad 1-3x=\underbrace{-x-1}_{-f(x)}

Osserviamo che la quantità {-f(x)} si ottiene a partire da {f(x)} invertendo il segno di tutti i suoi termini.

Risolviamo la prima equazione:

1-3x=x+1 \quad \Rightarrow \quad x=0

Infine per la seconda equazione:

1-3x=-x-1 \quad \Rightarrow \quad -2x=-2 \quad \Rightarrow \quad x=1

In conclusione per l’equazione con valori assoluti di partenza otteniamo le soluzioni:

x_1=0, \qquad x_2=1

Esercizio 8

Risolvere:

|x^2+2x|=|x^2-1|

Come nei precedenti casi scriviamo le due equazioni:

x^2+2x=x^2-1 \quad \vee \quad x^2+2x=-x^2+1

Per la prima equazione abbiamo:

x^2+2x-x^2+1=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\dfrac{1}{2}

Per la seconda equazione otteniamo invece:

 x^2+2x=-x^2+1; \qquad 2x^2+2x-1=0

e quindi:

\begin{align*} & x_{1,2}=\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}=\dfrac{-2 \pm \sqrt{4+8}}{4}=\dfrac{-2\pm \sqrt{12}}{4}=\\ \\ & =\dfrac{-2\pm 2 \sqrt{3}}{4}=\dfrac{2(-1\pm\sqrt{3})}{4}=\dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}\end{align*}

Così unendo gli insiemi delle soluzioni relativi alle due equazioni di secondo grado otteniamo in conclusione per l’equazione con valori assoluti di partenza:

x_1=-\dfrac{1}{2}, \quad x_2=\dfrac{-1 +\sqrt{3}}{2}, \quad x_3=\dfrac{-1 -\sqrt{3}}{2}

Quarta parte: equazioni di tipo più generale

A conclusione di questa scheda di esercizi sulle equazioni con valore assoluto, vediamo come risolvere equazioni della forma più generale, ovvero:

|p(x)|+|q(x)|+\dots=f(x)

Si tratta in particolare di equazioni nelle quali compaiono due o più quantità entro il simbolo di valore assoluto e un’espressione funzione della {x} (quest’ultima può anche essere un termine noto, ovvero una costante).

Per svolgere gli esercizi sulle equazioni con valore assoluto di questo tipo occorre confrontare gli studi del segno delle quantità all’interno del simbolo di valore assoluto, in modo da individuare degli intervalli di valori della {x}. E per ciascun intervallo riscriveremo l’equazione di partenza eliminando i simboli di valore assoluto, considerando il segno che ha ciascuna quantità nel particolare intervallo considerato.

In tal modo otterremo per ciascun intervallo un sistema dato da una particolare forma dell’equazione di partenza accompagnata da una disequazione corrispondente allo stesso intervallo. L’unione degli insiemi delle soluzioni di ciascun sistema fornirà le soluzioni dell’equazione con valori assoluti di partenza.

Vediamo un paio di esercizi svolti.

Esercizio 9

Risolvere la seguente equazione:

|2x-1|-|3-x|=1

Poiché oltre ai due termini in valore assoluto è anche presente il termine noto, non possiamo ricondurci al semplice caso di uguaglianza tra valori assoluti e dobbiamo ricorrere al metodo risolutivo più generale.

Consideriamo gli studi del segno delle quantità {2x-1} e {3-x}, ovvero dei polinomi all’interno dei simboli di valore assoluto. Riportiamo gli studi del segno su di uno stesso diagramma:

esercizi sulle equazioni con valore assoluto

Come è immediato osservare è possibile individuare tre intervalli di valori della {x} (indicati con i numeri romani). Abbiamo infatti un primo intervallo di valori in cui la {x} risulta minore di {\dfrac{1}{2}}. Poi, abbiamo un secondo intervallo ove la {x} è compresa tra i valori {\dfrac{1}{2}} (compreso) e {3} (escluso), quindi {\dfrac{1}{2} \leq x < 3}. Infine, il terzo intervallo è rappresentato dalla condizione {x>3}. Come visto nella lezione teorica ricordiamo che gli intervalli vengono scritti in modo da rappresentare una partizione dell’insieme dei numeri reali. In altre parole, possiamo comprendere un dato zero soltanto in un intervallo. Così ad esempio lo zero {x=\dfrac{1}{2}} è compreso nel secondo intervallo e di conseguenza è escluso dal primo intervallo.

Ora, ciò che dobbiamo fare è ragionare su ciascun intervallo utilizzando la definizione di valore assoluto, e vedere cosa succede all’equazione di partenza.

Nel primo intervallo, la quantità {2x-1} è negativa. Di conseguenza, per la definizione di valore assoluto avremo che {|2x-1|=-(2x-1)=-2x+1}. Infatti, come sappiamo se la quantità all’interno del simbolo di modulo è negativa, potremo togliere il modulo ma a patto di scrivere la quantità ad essa opposta. E dato che abbiamo un polinomio, dovremo scrivere il polinomio opposto, il quale si ottiene dal polinomio di partenza cambiando il segno di tutti i suoi termini.

Invece, sempre nel primo intervallo la quantità {3-x} è positiva e così sostituiremo la quantità {|3-x|} con {3-x}. Infatti, se la quantità all’interno dei simboli di valore assoluto è positiva possiamo semplicemente eliminare il modulo.

Quindi nel primo intervallo l’equazione di partenza assume la forma:

-2x+1-(3-x)=1

Importante: dato che avevamo un segno meno davanti al simbolo di modulo, abbiamo racchiuso la quantità {3-x} entro le parentesi tonde. In tal modo evitiamo di incorrere in spiacevoli errori di segno.

E dato che siamo nel primo intervallo, l’equazione appena scritta vale soltanto sotto la condizione:

x < \dfrac{1}{2}

Così in conclusione per il primo intervallo dobbiamo scrivere il seguente sistema:

\begin{cases}-2x+1-(3-x)=1 \\ \\ x < \dfrac{1}{2} \end{cases}

e le eventuali soluzioni del sistema stesso saranno anche soluzioni dell’equazione di partenza. Successivamente inoltre scriveremo anche i sistemi corrispondenti ai rimanenti intervalli, le cui eventuali soluzioni saranno anch’esse soluzioni dell’equazione di partenza.

Cominciamo dal sistema appena scritto. Svolgendo i calcoli abbiamo:

\begin{cases}-2x+1-3+x-1=0 \\ \\ x < \dfrac{1}{2} \end{cases}

e quindi:

\begin{cases}-x-3 = 0 \\ \\ x <  \dfrac{1}{2} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}x=-3 \\ \\ x < \dfrac{1}{2} \end{cases}

Il sistema è determinato e ad esso corrisponde la soluzione:

x=-3

che è quindi una prima soluzione dell’equazione di partenza.

Procediamo a questo punto scrivendo il sistema relativo al secondo intervallo. Osserviamo di nuovo il diagramma relativo agli studi dei segni. Nel secondo intervallo abbiamo che entrambe le quantità all’interno del simbolo di modulo sono positive. Di conseguenza, per detto intervallo l’equazione di partenza assumerà la forma:

2x-1-(3-x)=1

Quindi, dato che al secondo intervallo corrisponde la condizione {\dfrac{1}{2} \leq x < 3 } si tratterà di risolvere il sistema:

\begin{cases}2x-1-(3-x)=1 \\ \\  \dfrac{1}{2} \leq  x < 3  \end{cases}

Svolgendo i calcoli abbiamo:

\begin{cases} x=\dfrac{5}{3} \\ \\ \dfrac{1}{2} \leq  x < 3\end{cases}

Il sistema è determinato ed ha per soluzione:

x=\dfrac{5}{3}

E anche questa è una soluzione per l’equazione di partenza, che si aggiunge alla precedente {x=-3}.

Passiamo infine al terzo intervallo, in modo da poter scrivere l’ultimo sistema. In tale intervallo la prima quantità all’interno del simbolo di modulo è positiva e la seconda è negativa. Inoltre, l’intervallo è caratterizzato dalla condizione {x > 3}. Così per il terzo intervallo abbiamo il sistema:

\begin{cases}2x-1-[-(3-x)] = 1 \\ \\ x \geq  3 \end{cases}

ovvero:

\begin{cases}2x-1-(-3+x)-1=0 \\ \\ x \geq  3 \end{cases}

e quindi:

\begin{cases}x = - 1 \\ \\ x \geq  3 \end{cases}

Come possiamo vedere il sistema è impossibile. Non abbiamo così ulteriori soluzioni per l’equazione di partenza.

In conclusione mettendo insieme le soluzioni ottenute per ciascun sistema abbiamo per l’equazione con valori assoluti di partenza le soluzioni:

x_1 = -3; \qquad x_2 = \dfrac{5}{3}

Esercizio 10

Proseguiamo gli esercizi sulle equazioni con valore assoluto di questa scheda con il seguente:

|x+4|+|x-1|=5

Procediamo come nell’esercizio precedente, effettuando prima di tutto gli studi del segno delle quantità all’interno dei simboli di valore assoluto.

esercizi sulle equazioni con valore assoluto

Tenendo conto dei segni assunti in ciascun intervallo dalle quantità all’interno dei simboli di modulo e delle condizioni che definiscono ogni intervallo, scriviamo i seguenti sistemi:

\small \begin{align*} & I) \quad \begin{cases}-(x+4)+[-(x-1)]= 5 \\ \\ x \leq  - 4  \end{cases} \qquad II)\quad \begin{cases}x+4+[-(x-1)]=5 \\ \\  -4 < x  \leq  1 \end{cases} \\ \\ &  III) \quad    \begin{cases}  x+4+x-1=5 \\ \\ x  > 1  \end{cases} \end{align*}

Osserviamo che avremmo anche potuto scrivere un primo intervallo dato dalla condizione {x < 4}, un secondo intervallo dato da {-4 \leq x < 1} e infine un terzo intervallo rappresentato dalla condizione {x \geq 1}. In altre parole possiamo scegliere a nostro piacimento se includere uno zero in un intervallo o in quello immediatamente precedente/successivo. L’importante, come già detto, è che gli intervalli costruiti rappresentino una partizione dell’insieme dei numeri reali.

Risolvendo i sistemi otteniamo:

\begin{align*} & I) \quad \begin{cases} x = -4 \\ \\ x \leq -4\end{cases} \end{align*} \qquad II) \quad \begin{cases} 5 = 5 \\ \\  -4 < x \leq 1 \end{cases} \qquad III) \quad \begin{cases} x = 1 \\ \\ x > 1\end{cases}

Osserviamo che il primo sistema è determinato con soluzione {x=-4}. Ora, per quanto riguarda il secondo sistema è importante notare che in esso compare un’identità (l’uguaglianza {5=5}, evidentemente verificata per ogni valore della {x}). Di conseguenza, dato che l’identità è relativa all’intervallo {-4 < x \leq 1}, possiamo affermare che tutti i valori della {x} compresi in tale intervallo sono anche soluzioni dell’equazione di partenza. Infine, il terzo sistema è impossibile. Infatti, il valore {x=1} è escluso dal terzo intervallo. Sottolineiamo comunque che ciò non influisce in alcun modo sul risultato ottenuto relativamente al secondo sistema.

In conclusione abbiamo per l’equazione con valori assoluti di partenza l’insieme delle soluzioni:

x \in [-4, 1]

Esercizio 11

Concludiamo gli esercizi sulle equazioni con valore assoluto con il seguente:

|x-4|+|x+5|=|3x-2|

Cominciamo anzitutto con lo studio dei segni delle quantità in modulo:

esercizi sulle equazioni con valore assoluto

Stavolta ci ritroviamo con quattro distinti intervalli di valori della {x}. Tenendo conto dei segni delle quantità in modulo, per il primo intervallo abbiamo il seguente sistema:

\begin{cases} -(x-4)-(x+5)=-(3x-2) \\ \\ x \leq -5 \end{cases}

ovvero, eseguendo i calcoli:

\begin{cases} -x+4 -x -5 = -3x+2 \\ \\ x \leq -5 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}x=3 \\ \\ x \leq -5 \end{cases}

Il valore {x=-3} non soddisfa la condizione {x \leq -5} e quindi il sistema è impossibile.

Veniamo al secondo sistema, relativo al secondo intervallo:

\begin{cases} -(x-4)+x+5=-(3x-2) \\ \\ -5 < x \leq  \dfrac{2}{3} \end{cases}

Svolgendo i calcoli otteniamo:

\begin{cases}-x+4+x+5+3x-2=0 \\ \\  -5 < x \leq \dfrac{2}{3}\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=-\dfrac{7}{3} \\ \\  -5 < x \leq \dfrac{2}{3}\end{cases} 

Otteniamo la soluzione per il sistema:

x=-\dfrac{7}{3}

che è anche una soluzione per l’equazione con valori assoluti di partenza.

Passiamo ora al sistema relativo al terzo intervallo:

\begin{cases} -x+4+x+5=3x-2 \\ \\  \dfrac{2}{3} <  x \leq 4\end{cases}

Svolgendo i calcoli:

\begin{cases} x=\dfrac{11}{3} \\ \\  \dfrac{2}{3} <  x \leq 4 \end{cases}

Il sistema è determinato ed ammette quindi la soluzione {x=\dfrac{11}{3}}, che è anche soluzione per l’equazione di partenza.

Infine, relativamente al quarto ed ultimo intervallo otteniamo il sistema:

\begin{cases}x-4+x+5=3x-2 \\ \\ x > 4 \end{cases}

da cui:

\begin{cases} x=3 \\ \\ x > 4 \end{cases}

ed il sistema è impossibile.

In conclusione abbiamo per l’equazione di partenza le soluzioni:

x_1=-\dfrac{7}{3}; \qquad x_2=\dfrac{11}{3}

Conclusioni

Per quanto riguarda gli esercizi sulle equazioni con valore assoluto è tutto. Prima di salutarci, riteniamo soltanto utile osservare che è sempre possibile risolvere le equazioni in cui compaiono più valori assoluti utilizzando il metodo generale visto negli ultimi tre esercizi, anche nei casi in cui potrebbero essere utilizzati metodi più semplici. Ciò può tornare utile nella particolare circostanza ove non si ricordi il ragionamento da fare per la particolare forma che assume l’equazione data.

Ad esempio, riprendiamo l’equazione dell’esercizio 7:

|1-3x|=|x+1|

In alternativa al metodo visto in precedenza, possiamo anche confrontare gli studi dei segni delle quantità all’interno del simbolo di modulo:

Scriviamo i sistemi relativi a ciascun intervallo:

\scriptsize I) \quad \begin{cases} 1-3x=-x-1 \\ \\ x \leq -1 \end{cases} \qquad II) \quad \begin{cases} 1-3x = x+1 \\ \\ -1 < x \leq \dfrac{1}{3}\end{cases} \qquad III) \quad \begin{cases}-1+3x=x+1 \\ \\ x > \dfrac{1}{3} \end{cases}

Il primo sistema è impossibile, il secondo ammette la soluzione {x=0} mentre il terzo ammette la soluzione {x=1}. Così ritroviamo per l’equazione di partenza le soluzioni {x_1=0} e {x_2= 1}.

Ora, prestiamo particolare attenzione ad equazioni del tipo:

|p(x)|+|q(x)|+f(x)=0

Stiamo attenti in casi come questo ad effettuare lo studio del segno soltanto delle quantità all’interno del simbolo di modulo. Così non dovremo eseguire lo studio del segno della quantità {f(x)}, poiché essa non è compresa nei simboli di valore assoluto.


A questo punto per quanto riguarda gli esercizi sulle equazioni con valore assoluto è davvero tutto. Buon proseguimento con SìMatematica! 🙂


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