Riprendiamo il metodo del confronto per i sistemi lineari in una lezione espressamente dedicata al metodo del confronto applicato ai sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite.
Come mostreremo, gli accorgimenti da seguire sono praticamente gli stessi dei metodi di sostituzione e riduzione nel caso dei sistemi di tre equazioni in tre incognite. In particolare, è importante tenere presente che dobbiamo ricondurci ad un sistema di due equazioni in due incognite. E per fare questo, dovremo scegliere oculatamente quale incognita eliminare nell’applicare di volta in volta il metodo del confronto. Inoltre, occorre sempre tenere presente che se si scrive una nuova equazione utilizzando due equazioni del sistema, questa potrà sostituire soltanto una di queste due equazioni. Diversamente, non riusciremmo a risolvere il sistema.
Ma rivediamo subito nel dettaglio il metodo del confronto per i sistemi di tre equazioni in tre incognite, svolgendo un esercizio insieme passo dopo passo.
Come risolvere i sistemi di tre equazioni in tre incognite con il metodo del confronto
Risolviamo insieme con il metodo del confronto il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite:
\begin{cases} x+z=2 \\ \\ x+2z=0 \\ \\ y-z=-1\end{cases}Cominciamo isolando la {x} sia nella prima equazione, sia nella seconda equazione. L’idea del metodo del confronto è infatti quella di ricavare due differenti espressioni per una stessa incognita. Abbiamo:
\begin{cases} x=\boxed{2-z} \\ \\ x=\boxed{-2z} \\ \\ y-z=-1\end{cases}A questo punto uguagliando tra loro le espressioni nei riquadri otteniamo una nuova equazione nella solla incognita {z}. E possiamo inserire l’equazione nel sistema sostituendola soltanto ad una delle due equazioni con le quali l’abbiamo ricavata. In questo caso quindi possiamo sostituire la nuova equazione soltanto alla prima o alla seconda equazione a sistema. Se per errore sostituissimo la nuova equazione alla terza, non riusciremmo a risolvere il sistema. Quindi, attenzione. 😉
Sostituendo la nuova equazione ad esempio alla prima equazione a sistema abbiamo:
\begin{cases} \boxed{2-z}=\boxed{-2z} \\ \\ x = -2z \\ \\ y-z=-1\end{cases}ovvero, sommando i termini simili e portando il termine noto a secondo membro nella prima equazione, ed inoltre esplicitando la {y} nella terza equazione:
\begin{cases} z=-2 \\ \\ x=-2z \\ \\ y=-1+z\end{cases}Ma a questo punto possiamo ricavare senza alcuna fatica i valori delle rimanenti incognite {x} e {y}:
\begin{cases} z=-2 \\ \\ x=4 \\ \\ y=-3\end{cases}Il sistema ha così per soluzione la terna {(x, \: y, \: z} seguente:
\left( 4, \: -3, \: -2\right)
Un ulteriore esempio sul metodo del confronto per sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite
Il precedente sistema non era particolarmente difficile da risolvere poiché in ciascuna equazione non figuravano più di due incognite. Complessivamente comunque figuravano tre incognite nel sistema.
Vediamo ora un esempio di un sistema lineare nel quale figurano tutte e tre incognite in ciascuna equazione. E vediamo come risolvere sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite di questa forma utilizzando il metodo del confronto.
Consideriamo il seguente sistema:
\begin{cases} 2x+2y-z = 3 \\ \\ 2x-6y-2z=-1 \\ \\ x+y+3z=-2 \end{cases}Avevamo già risolto in precedenza questo sistema utilizzando il metodo di riduzione.
Ricaviamo un’espressione per l’incognita {x} dalle prime due equazioni. Osserviamo che possiamo tranquillamente ricavare un’espressione in ciascuna equazione anche per la quantità {2x}, ovvero il doppio dell’incognita. Abbiamo:
\begin{cases} 2x=\boxed{3-2y+z} \\ \\ 2x=\boxed{-1+6y+2z} \\ \\ x+y+3z=-2 \end{cases}Ora come nell’esercizio precedente uguagliando le due espressioni nel riquadro otteniamo una nuova equazione. Tale equazione presenta due incognite invece di tre. E quindi se sostituiamo opportunamente questa nuova equazione ad una delle equazioni del sistema, ci ritroviamo a sistema un’equazione con due sole incognite.
E ancora, attenzione. Dato che la nuova equazione viene ricavata dalle prime due equazioni, la nuova equazione stessa può sostituire soltanto o la prima o la seconda equazione. Così sostituendo la nuova equazione ad esempio alla prima equazione abbiamo:
\begin{cases} \boxed{3-2y+z}=\boxed{-1+6y+2z} \\ \\ 2x=-1+6y+2z \\ \\ x+y+3z=-2\end{cases}Trasportando i termini e sommando i termini simili nella prima equazione abbiamo:
\begin{cases} -8y-z=-4\\ \\ 2x=-1+6y+2z \\ \\ x+y+3z=-2\end{cases}Ora rispetto al sistema dell’esercizio precedente dobbiamo fare un ragionamento in più. E questo perché in ogni equazione rispetto al sistema precedente ci ritroviamo con più incognite.
In particolare, osserviamo che nella prima equazione figurano le sole due incognite {y} e {z}. Ora, come sappiamo nei sistemi di tre equazioni in tre incognite l’idea è quella di ricondurci ad un sistema di due equazioni in due incognite. E dato che nella prima equazione abbiamo le incognite {y} e {z}, desideriamo sostituire o la seconda o la terza equazione a sistema con una nuova equazione nelle sole incognite {y} e {z}. Solo in questo modo potremo infatti ricondurci ad un sistema di due equazioni in due incognite.
Dobbiamo allora ricavare la {x} dalla seconda e dalla terza equazione. In tal modo applicando il metodo del confronto ci ritroveremo effettivamente con una nuova equazione nelle sole incognite {y} e {z}.
Ma per fare questo dovremo avere due soli termini in {x} in ciascuna equazione aventi lo stesso coefficiente. Moltiplichiamo allora anzitutto la terza equazione per {2}, applicando il secondo principio di equivalenza. Abbiamo:
\begin{cases} -8y-z=-4\\ \\ 2x=-1+6y+2z \\ \\ 2x+2y+6z=-4\end{cases}Ora abbiamo un termine {2x} sia nella seconda equazione, sia nella terza. Esplicitiamo allora {2x} in entrambe le equazioni:
\begin{cases} -8y-z=-4\\ \\ 2x=\boxed{-1+6y+2z }\\ \\ 2x=\boxed{-4-2y-6z}\end{cases}A questo punto uguagliando le due espressioni nei riquadri otteniamo un’equazione nelle sole incognite y e z, esattamente come la prima equazione. Sostituiamo la nuova equazione ad esempio alla seconda equazione a sistema. Otteniamo:
\begin{cases} -8y-z=-4 \\ \\ \boxed{-1+6y+2z}=\boxed{-4-2y-6z} \\ \\ 2x=-4-2y-6z\end{cases}Sommando i termini simili e trasportando opportunamente i termini nella seconda equazione:
\begin{cases} -8y-z=-4 \\ \\ 8y+8z=-3 \\ \\ 2x=-4-2y-6z\end{cases}E’ ora fondamentale osservare che le prime due equazioni corrispondono ad un sistema di due equazioni nelle due incognite {y} e {z}. Conviene quindi mettere da parte per il momento la terza equazione, e lavorare sulle sole due prime equazioni, come se effettivamente avessimo un sistema di due equazioni in due incognite. Sostituiamo allora la terza equazione con dei puntini:
\begin{cases} -8y-z=-4 \\ \\ 8y+8z=-3 \\ \\ \dots \end{cases}A questo punto risolviamo il sistema di due equazioni in due incognite dato dalle prime due equazioni, ad esempio utilizzando il metodo del confronto. Ricaviamo un’espressione per la quantità {8y} da entrambe le equazione (attenzione ai segni):
\begin{cases} 8y=\boxed{4-z} \\ \\ 8y=\boxed{-3-8z} \\ \\ \dots \end{cases}Ricordiamo di portarci dietro sempre i punti in modo da non dimenticarci della terza equazione. Questa ci servirà infatti alla fine, quando sarà il momento di ricavare l’ultima incognita. 😉
Ancora, uguagliando tra loro le espressioni nei riquadri otteniamo una nuova equazione che possiamo sostituire ad esempio alla seconda equazione. Abbiamo:
\begin{cases} 8y=4-z \\ \\ 4-z=-3-8z \quad \rightarrow \quad 7z=-7 \quad \rightarrow \quad z=-1 \\ \\ \dots \end{cases}Ed ora sostituendo il valore appena ricavato per {z} nella prima equazione possiamo ricavare il valore dell’incognita {y}:
\begin{cases} y=\dfrac{4+1}{8}=\dfrac{5}{8}\\ \\ z=-1 \\ \\ \dots \end{cases}A questo punto non resta che riprendere la terza equazione e sostituire in essa i valori delle incognite {y} e {z} ormai noti. In questo modo potremo ricavare l’ultima incognita, ovvero la {x}:
\scriptsize \begin{cases} y=\dfrac{5}{8} \\ \\ z=-1 \\ \\ 2x=-4-2y-6z \:\rightarrow \: x=\dfrac{-4-2y-6z}{2}=\dfrac{-4-2 \cdot \dfrac{5}{8}-6 \cdot (-1)}{2}=\dfrac{3}{8}\end{cases}Così in conclusione il sistema ha per soluzione la terna di valori {(x, \: y, \: z)} seguente:
\left( \dfrac{3}{8}, \: \dfrac{5}{8}, \: -1\right)Conclusioni
Per quanto riguarda il metodo del confronto per i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite è tutto. Negli esempi abbiamo visto dei sistemi che si prestavano particolarmente alla risoluzione con il metodo del confronto. Nel secondo sistema abbiamo comunque dovuto applicare il secondo principio di equivalenza ad una equazione in modo da poter applicare il metodo del confronto. Ciò è del tutto simile a quando si moltiplicano entrambi i membri di un’equazione per una stessa quantità, in modo da poter applicare il metodo di riduzione. E questo non è affatto una coincidenza, poiché come già abbiamo evidenziato il metodo del confronto è una variante del metodo di riduzione.
A conclusione di questa lezione sul metodo del confronto approfittiamo per rivolgere un caro saluto a tutti voi! Buono studio con SìMatematica!
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