Esercizi sui problemi con sistemi lineari

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Proponiamo in questa scheda una serie di esercizi sui problemi con sistemi lineari, svolti e commentati. Nel risolvere gli esercizi utilizzeremo le varie tecniche risolutive viste per i sistemi lineari: metodo di sostituzione, metodo del confronto, metodo di riduzione, regola di Cramer. In questo modo non solo forniremo delle indicazioni per la risoluzione dei problemi con i sistemi lineari, ma effettueremo anche un ripasso dei vari metodi risolutivi dei sistemi lineari (sistemi di equazioni di primo grado).

Ricordiamo che per risolvere i problemi con i sistemi lineari occorre scrivere il sistema risolvente associato al problema in esame. E la soluzione del sistema conterrà i valori delle incognite del problema.

In questa scheda vedremo inizialmente problemi con i sistemi lineari che hanno sistemi risolventi dati da due equazioni in due incognite, per poi concludere con problemi che hanno sistemi risolventi dati da tre equazioni in tre incognite.

Fatte le dovute premesse, passiamo subito agli esercizi sui problemi con sistemi lineari.

Esercizi svolti e commentati sui problemi con sistemi lineari

Prima parte: problemi con due equazioni in due incognite

Esercizio 1

Se 3 pillole di antibiotico e 4 pillole di antidolorifico costano in tutto 69 centesimi, mentre 5 pillole di antibiotico e 2 di antidolorifico costano 73 centesimi, quanto costa ciascun tipo di pillola?

Indichiamo con {x} il costo di ciascuna pillola di antibiotico e con {y} il costo di ciascuna pillola di antidolorifico.

La prima parte del testo afferma che il costo di 3 pillole di antibiotico (ovvero {3x) } più il costo di 4 pillole di antibiotico (ovvero {4y}) dà in totale un costo di 69 centesimi:

3x+4y=69

Inoltre, la seconda parte del testo afferma che sommando al costo di 5 pillole di antibiotico ({5x}) il costo di 2 pillole di antidolorifico ({2y}) otteniamo un costo pari a 73 centesimi:

5x+2y=73

Dato che le nostre incognite sono il costo unitario dei due tipi di pillole, ovvero {x} e {y}, e dato che abbiamo scritto due equazioni possiamo impostare il seguente sistema risolvente, nel quale inseriremo le due equazioni precedentemente scritte nelle due incognite {x} e {y}:

\begin{cases}3x+4y=69 \\ \\ 5x+2y=73 \end{cases}

Proviamo a risolvere il sistema utilizzando il metodo di riduzione. Cominciamo moltiplicando per 2 la seconda equazione a sistema:

\begin{cases}3x+4y=69 \\ \\ 10x+4y=146 \end{cases}

A questo punto scriviamo una nuova equazione sottraendo la seconda equazione alla prima. Quindi, poniamo la nuova equazione ottenuta ad esempio al posto della seconda equazione a sistema:

\begin{cases} 3x+4y=69 \\ \\ 3x-10x=69-146\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}3x+4y=69 \\ \\ -7x=-77  \quad \rightarrow \quad x=11\end{cases}

Ora sostituendo il valore appena ottenuto per l’incognita {x} nella prima equazione, possiamo ricavare la {y}:

\small 3x+4y=69 \quad \Rightarrow \quad y=\dfrac{69-3x}{4}=\dfrac{69-3 \cdot 11}{4}=\dfrac{69-33}{4}=\dfrac{36}{4}=9

Così in conclusione abbiamo ottenuto il costo di ciascun tipo di pillola. In particolare, il costo {x} di una pillola di antibiotico è di 11 centesimi mentre il costo di una pillola di antidolorifico è di 9 centesimi.

Esercizio 2

Nuotando nel senso della corrente, un nuotatore riesce a percorrere 2 km in 15 minuti. Il viaggio di ritorno, in controcorrente, richiede invece 20 minuti. Qual è la velocità del nuotatore e quella della corrente?

Ricordiamo che la velocità (media) è data dal rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato:

v=\dfrac{s}{t}

Ora, indichiamo con {x} la velocità del nuotatore e con {y} la velocità della corrente. Nel viaggio di andata, il nuotatore si muove nello stesso verso della corrente, per cui la velocità che abbiamo in questo caso è data dalla somma della velocità del nuotatore e della velocità della corrente. Così possiamo scrivere:

x+y=\dfrac{2 \text{km}}{15  \text{minuti}}

D’altro canto, nel viaggio di ritorno abbiamo una velocità data dalla differenza tra la velocità del nuotatore e quella della corrente. In questo caso in fatti il nuotatore nuota controcorrente. Abbiamo:

x-y = \dfrac{2 \text{km}}{20\text{minuti}}

Omettendo temporaneamente per comodità le unità di misura, mettendo insieme le due equazioni appena scritte otteniamo il seguente sistema risolvente:

\begin{cases}x+y=\dfrac{2}{15} \\ \\ x-y=\dfrac{2}{20} \end{cases}

Utilizzando il metodo del confronto abbiamo:

\begin{cases} x= \dfrac{2}{15}-y\ \\ \\ x=\dfrac{2}{20}+y \end{cases}

Così, sostituendo la nuova equazione che si ottiene per confronto alla prima equazione a sistema abbiamo:

\begin{cases} \dfrac{2}{15}-y=\dfrac{2}{20}+y \\ \\ x=\dfrac{2}{20}+y\end{cases}

e quindi:

\begin{cases} -2y=\dfrac{2}{20}-\dfrac{2}{15} \quad \rightarrow \quad y=\dfrac{1}{60} \end{cases}

A questo punto sostituendo il valore appena ottenuto per {y} nella seconda equazione possiamo ottenere il valore dell’incognita {x}:

x=\dfrac{2}{20}+\dfrac{1}{60}=\dfrac{7}{60}

Così riprendendo anche le unità di misura abbiamo ottenuto i risultati:

\begin{align*} & x=\dfrac{7}{60} \dfrac{\text{km}}{\text{minuto}} \qquad \text{velocita' del nuotatore} \\ \\ & y=\dfrac{1}{60} \dfrac{\text{km}}{\text{minuto}} \qquad \text{velocita' della corrente}\end{align*}

Volendo esprimere i risultati in km/h, basta osservare che un’ora contiene 60 minuti. Per cui in conclusione abbiamo:

x=7 \: \dfrac{\text{km}}{\text{h}}, \qquad y=1 \: \dfrac{\text{km}}{\text{h}}

Così il nuotatore ha una velocità di 7 km orari mentre la corrente ha la velocità di 1 km orario.

Esercizio 3

La somma di un numero a due cifre e della cifra delle unità è pari a 64, e la somma di quello stesso numero e della cifra delle decine è pari a 62. Determinare il numero.

Indicando con {n} il numero incognito, con {x} la sua cifra delle decine e con {y} la sua cifra delle unità, in base a quanto riportato dal testo possiamo scrivere le due equazioni:

\begin{align*} &n + x=64; \qquad n+y=62\end{align*}

Tuttavia, osserviamo che ci ritroviamo con le tre incognite {n, \: x, \: y} m abbiamo soltanto due equazioni. Di conseguenza, non possiamo per il momento impostare il sistema risolvente. Infatti, sappiamo risolvere soltanto sistemi con numero di equazioni uguale al numero delle incognite.

Tuttavia, osserviamo che un qualsiasi numero formato da due cifre {x} e {y} si può scrivere come {x+10y}. Così possiamo esprimere la quantità {n} nelle precedenti equazioni in funzione di {x} e {y}, in modo tale da poter effettivamente ricondurci ad un sistema di due equazioni in due incognite:

\begin{cases}\overbrace{x+10y}^n+x=64 \\ \\ \overbrace{x+10y}^n+y=62 \end{cases}

ovvero, sommando i termini simili in ciascuna equazione:

\begin{cases} 2x+10y=64 \\ \\ x+11y=62\end{cases}

Risolviamo il sistema per riduzione. Moltiplichiamo ad esempio la seconda equazione per 2, quindi sottraiamo alla prima equazione la seconda equazione. Sostituiamo la nuova equazione ad esempio alla prima equazione a sistema. Abbiamo:

\small \begin{cases}2x+10y=64 \\ \\ 2x+22y=124 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 10y-22y=64-124  \\ \\ 2x+22y=124\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}-12y=-60 \\ \\ x=\dfrac{124-22y}{2} \end{cases}

Otteniamo quindi:

\begin{cases}y = 5 \\ \\ x = \dfrac{124-22 \cdot 5}{2}=\dfrac{124-110}{2}= 7\end{cases}

Così la cifra delle unità è uguale a {7} mentre la cifra delle decine è uguale a {5}. Di conseguenza il numero cercato è:

n=x+10y=7+ 10 \cdot 5 = 57

Più semplicemente il numero cercato si ottiene anche scrivendo di seguito la cifra delle decine e la cifra delle unità.

Esercizio 4 (punto di pareggio)

Il costo per produrre x unità di scarpe è dato da C=400+2x euro. Il ricavo dalla vendita di x paia di scarpe è invece dato da R=4x euro. Determinare il quantitativo x di scarpe prodotte che corrisponde ad un’uguaglianza tra costi e ricavi (punto di pareggio).

Osserviamo che l’andamento dei costi in funzione del numero di scarpe prodotte è descritto nel caso in esame dall’equazione:

y=400+2x

mentre l’andamento dei ricavi sempre in funzione del numero di scarpe prodotte è dato da:

y=4x

Entrambe le equazioni rappresentano una retta. Così, il quantitativo {x} corrispondente al punto di pareggio (uguaglianza tra ricavi e costi) corrisponde all’ascissa del punto di intersezione tra le due rette:

\begin{cases}y=400+2x \\ \\ y=4x \end{cases}

Applicando il metodo del confronto otteniamo l’equazione nella sola incognita {x}:

400+2x=4x

che risolta fornisce:

2x=400 \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{400}{2}=200

Così, il punto di pareggio (uguaglianza tra costi e ricavi) corrisponde ad un numero di scarpe prodotte pari a 200. Il punto di pareggio è anche detto break-even point. Ed il problema appena risolto grazie ad un semplice sistema lineare si chiama analisi del punto di pareggio, o break-even point analysis.

Graficamente abbiamo due rette con differente pendenza che si intersecano nel punto di pareggio:


Proseguiamo ora questa serie di esercizi sui sistemi lineari presentando dei problemi che hanno per sistemi risolventi dei sistemi lineari con tre equazioni in tre incognite.

Esercizio 5

Il perimetro del triangolo ABC misura 84 cm. Determinare le misure dei lati sapendo che la somma dei lati AB e BC è uguale ai 7/5 del lato AC, e che la differenza tra i lati BC e AB è 1/5 del lato AC.

problemi con i sistemi lineari

Rappresentando le misure dei lati con le incognite {x, \: y, \: z} come indicato in figura, possiamo scrivere il seguente sistema risolvente:

\begin{cases} x+y+z = 84 \qquad \text{(il perimetro e' la somma dei lati)} \\ \\ x+y=\dfrac{7}{5}z \\ \\ y-x=\dfrac{1}{5}z \end{cases}

Stavolta ci ritroviamo con un sistema di tre equazioni in tre incognite, che possiamo risolvere ad esempio con il metodo del confronto per sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite.

Esplicitiamo l’incognita {y} nella seconda e terza equazione, per poi applicare il metodo del confronto e sostituire la nuova equazione ottenuta ad esempio alla seconda equazione:

\begin{cases} x+y+z= 84 \\ \\ y=\dfrac{7}{5}z-x \\ \\ y=\dfrac{1}{5}z+x\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}x+y+z=84 \\ \\ \dfrac{7}{5}z-x=\dfrac{1}{5}z+x \\ \\ y=\dfrac{1}{5}z+x \end{cases}

A questo punto esplicitiamo la {y} dalla prima equazione, e quindi applichiamo il metodo del confronto tra la prima e la terza equazione, sostituendo la nuova equazione ottenuta ad esempio alla prima equazione:

\scriptsize \begin{cases}y=84-x-z \\ \\ \dfrac{7}{5}z-x=\dfrac{1}{5}z+x \\ \\ y=\dfrac{1}{5}z+x \end{cases} \quad \Rightarrow \begin{cases}84-x-z=\dfrac{1}{5}z+x \quad \rightarrow \quad 84-x-z-\dfrac{1}{5}z-x=0 \\ \\ \dfrac{7}{5}z-x-\dfrac{1}{5}z-x=0 \\ \\ -x+y-\dfrac{1}{5}z=0\end{cases}

Sommando i termini simili nelle equazioni abbiamo:

\begin{cases}-2x-\dfrac{6}{5}z=-84 \\ \\ -2x+\dfrac{6}{5}z=0 \\ \\   -x+y-\dfrac{1}{5}z=0 \end{cases}

Trascuriamo per il momento la terza equazione, in modo da ricondurci ad un sistema di due equazioni in due incognite:

\begin{cases}-2x-\dfrac{6}{5}z=-84 \\ \\ -2x+\dfrac{6}{5}z=0 \\ \\   \dots \end{cases}

Risolviamo il sistema ad esempio con il metodo di riduzione, sottraendo la seconda equazione alla prima. Otteniamo l’equazione nella sola incognita {z}:

-2x-\dfrac{6}{5}z+2x-\dfrac{6}{5}z=-84-0 \quad \Rightarrow \quad z=\dfrac{5}{12} \cdot 84=35

Noto il valore dell’incognita {z}, possiamo ricavare il valore dell’incognita {x} ad esempio dalla seconda equazione a sistema:

 -2x+\dfrac{6}{5}z=0 \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{6}{5}z \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{5} \cdot 35=21

Infine riprendendo la terza equazione del sistema che avevamo messo da parte possiamo ricavare l’incognita rimanente:

 -x+y-\dfrac{1}{5}z=0  \quad \Rightarrow \quad y=x+\dfrac{1}{5}z=21+\dfrac{1}{5}\cdot 35=28

Così in conclusione le misure dei lati del triangolo sono {21, \: 28} e {35} centimetri.

Esercizio 6

In un trapezio isoscele il perimetro misura 88 cm. Calcolare le misure dei lati sapendo che il lato obliquo è i 4/5 della base minore e che la somma delle basi è 7/11 del perimetro.

problemi con i sistemi lineari

Leggendo attentamente il testo possiamo impostare il seguente sistema risolvente, tenendo conto delle nomenclature in figura:

\begin{cases}x+z+x+y=88 \qquad \text{perimetro del trapezio} \\ \\ x=\dfrac{4}{5}z \\ \\ \begin{align*} z+y &=\dfrac{7}{11}\cdot 88  \\  \\& = 56 \end{align*} \end{cases}

Riscrivendo il sistema in forma normale otteniamo:

\begin{cases}2x+y+z=88 \\ \\ x+0y-\dfrac{4}{5}z=0 \\ \\ 0x+y+z=56 \end{cases}

Risolviamo il sistema ad esempio applicando la regola di Cramer. Per brevità riportiamo solo per la prima incognita i passaggi completi, nei quali utilizziamo per il calcolo dei determinanti la regola di Sarrus.

\small \begin{align*} & x =\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{\det \begin{bmatrix} 88 & 1 & 1 \\ 0 & 0  & -\frac{4}{5} \\ 56 & 1 & 1\end{bmatrix}}{\det \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -\frac{4}{5} \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}} = \\ \\ & = \dfrac{88 \cdot 0 \cdot 1 +1 \cdot \left( -\dfrac{4}{5}\right) \cdot 56 +1 \cdot 0 \cdot 1 -56 \cdot 0 \cdot 1 -1 \cdot \left( -\dfrac{4}{5}\right)88 -1 \cdot 0 \cdot 1 }{2 \cdot 0 \cdot 1 +1 \cdot \left( -\dfrac{4}{5}\right)\cdot 0 +1 \cdot 1 \cdot 1 - 0\cdot0\cdot1 -1 \cdot \left( -\dfrac{4}{5}\right)\cdot 2  - 1 \cdot 1 \cdot 1}= \\ \\ & = \dfrac{128}{5}: \dfrac{8}{5} =\dfrac{128}{5} \cdot \dfrac{5}{8} =16; \\ \\ &y = \dfrac{D_y}{D}= 36; \qquad z=\dfrac{D_z}{D}=20\end{align*}

Così in conclusione le misure dei lati del trapezio sono 20 cm per la base minore, 36 cm per la base maggiore e 16 cm per ciascun lato obliquo.

Conclusioni

Per quanto riguarda questa scheda di esercizi sui problemi con i sistemi lineari è tutto. Ricordiamo la lezione sui sistemi lineari, che vi sarà utile nel caso in cui qualche procedimento risolutivo relativo ai sistemi risolutivi dei problemi sin qui esposti non vi sia stato chiaro.

Buon proseguimento con SìMatematica! 🙂


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