Vediamo ora come calcolare il prodotto di un polinomio per un monomio. Ci occuperemo così della moltiplicazione tra una quantità data da una somma di termini (un polinomio) e una quantità costituita da un solo termine (il monomio). Nel calcolare la moltiplicazione di un polinomio per un monomio come vedremo applicheremo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.
Per il calcolo del prodotto di un polinomio per un monomio la regola è piuttosto immediata. E in particolare ridurremo la moltiplicazione di un polinomio per un monomio al calcolo di somme relative a prodotti fra monomi. E’ dunque importante conoscere le regole che riguardano la moltiplicazione tra monomi.
Infine, precisiamo che il prodotto tra un polinomio e un monomio avviene convenientemente fra un monomio e un polinomio entrambi ridotti in forma normale. Diversamente è comunque possibile eseguire il prodotto, ma al costo di complicare inutilmente i calcoli.
Fatte le dovute premesse, vediamo subito come eseguire la moltiplicazione tra un polinomio e un monomio.
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Regola per il prodotto tra un polinomio e un monomio
Consideriamo un polinomio e un monomio entrambi ridotti a forma normale.
Il prodotto tra un polinomio e un monomio si ottiene sommando tra loro tutti i prodotti che si ottengono moltiplicando ogni termine del polinomio per il monomio.
La moltiplicazione tra un polinomio e un monomio fornisce dunque come risultato una somma di prodotti parziali. E ciascun prodotto parziale si ottiene moltiplicando un termine del polinomio per il monomio. Ad ogni termine del polinomio corrisponderà in tal modo un prodotto parziale.
Osserviamo poi che nello scrivere la moltiplicazione dovremo sempre racchiudere il polinomio tra parentesi. Il monomio dovrà comparire tra parentesi soltanto se ha segno meno. Ciò si giustifica considerando le regole di precedenza nelle espressioni che contengono moltiplicazioni e somme algebriche.
Vediamo subito un esempio. Calcoliamo il seguente prodotto:
(a^2b+2ab-7ab^3) \cdot 3ab^2
Per rendere le cose più semplici all’inizio, piuttosto che calcolare direttamente il prodotto scriviamo i singoli prodotti parziali. Scriviamo quindi il prodotto del primo termine del polinomio per il monomio, poi il prodotto del secondo termine del polinomio per il monomio ed infine il prodotto del terzo termine del polinomio per il monomio. Abbiamo:
\begin{align*} a^2b \cdot 3ab^2 &= 3a^3b^3 \\ \\ 2ab \cdot 3ab^2 &= 6a^2b^3 \\ \\ -7ab^3\cdot3ab^2 &= -21a^2b^5 \end{align*}Una volta scritti i prodotti parziali, non ci resta che sommarli tra loro:
3a^3b^3+6a^2b^3-21a^2b^5
e tale somma è il risultato della moltiplicazione tra il polinomio e il monomio dati. Possiamo quindi scrivere in conclusione:
(a^2b+2ab-7ab^3) \cdot 3ab^2=3a^3b^3+6a^2b^3-21a^2b^5
Osserviamo che il polinomio di partenza ha tre termini e di conseguenza anche il risultato del prodotto ha tre termini. Eseguiamo sempre questo controllo in modo da accorgerci subito se abbiamo inavvertitamente dimenticato un termine del polinomio per costruire i prodotti parziali.
Vediamo un ulteriore esempio:
\left( 2xy-7x^2y\right) \cdot (-3x^2y^2)
Abbiamo racchiuso anche il monomio tra parentesi in quanto negativo.
Calcoliamo i prodotti parziali:
\begin{align*} 2xy \cdot \left( -3x^2y^2\right) & = -6x^3y^3 \\ \\ -7x^2y \cdot (-3x^2y^2) & = 21x^4y^3 \end{align*}Sommando i prodotti parziali otteniamo:
-6x^3y^3+21x^4y^3
e quindi in conclusione:
\left( 2xy-7x^2y\right) \cdot (-3x^2y^2) = -6x^3y^3+21x^4y^3
Una volta compreso il meccanismo, è anche possibile scrivere direttamente la somma dei prodotti parziali, senza passare prima per i singoli prodotti parziali come fatto finora. Ad esempio:
(2ax+7ax^2)\cdot 2a = 4a^2x+14a^2x^2
In questo modo otteniamo il risultato finale del prodotto tra un polinomio e un monomio molto rapidamente. Tuttavia, finché lo riterrete necessario sentitevi liberi di svolgere il prodotto come segue:
(2ax+7ax^2)\cdot 2a = 2ax \cdot 2a + 7ax^2 \cdot 2a = 4a^2x+14a^2x^2
Grado del prodotto tra un polinomio e un monomio
Vediamo ora una regola che ci permette di stabilire il grado del polinomio che si ottiene come risultato dell’operazione.
Il grado del prodotto tra un polinomio e un monomio è uguale alla somma dei gradi del polinomio e del monomio.
Calcoliamo ad esempio il seguente prodotto:
(a+2b+3ac)\cdot7b=7ab+14b^2+21abc
Il grado del polinomio a+2b+3ac è 2, mentre il grado del monomio 7b è 1. Il grado del prodotto è pari a 3, ed effettivamente coincide con la somma del grado del polinomio e del grado del monomio (2+1=3). In caso di dubbi ricordiamo le lezioni sul grado di un monomio e sul grado di un polinomio. Ricordiamo comunque brevemente che il grado di un monomio è la somma di tutti gli esponenti delle sue lettere, mentre il grado di un polinomio è il massimo tra i gradi dei suoi termini.
Ulteriori esempi
Calcoliamo il seguente prodotto:
(3x-2xy+6)\cdot(2x^2y)
Abbiamo:
\begin{align*}&(3x-2xy+6)\cdot(2x^2y) = 3x \cdot 2x^2y -2xy \cdot 2x^2y+6 \cdot 2x^2y= \\ \\ & = 6x^3y-4x^3y^2+12x^2y \end{align*}Proviamo ora a calcolare il seguente prodotto:
(2xy+4x^2+6xy) \cdot (-3xy)
Attenzione: il polinomio non è ridotto in forma normale. Riduciamo allora anzitutto il polinomio in forma normale. Riscriviamo quindi il prodotto come:
(2xy+4x^2+6xy) \cdot (-3xy)= (8xy+4x^2)\cdot(-3xy)
E’ ora possibile calcolare in modo conveniente il prodotto. Abbiamo:
(8xy+4x^2)\cdot(-3xy)=8xy \cdot (-3xy)+4x^2 \cdot (-3xy) = -24x^2y^2-12x^3y
Osserviamo che se non avessimo ridotto il polinomio di partenza in forma normale ci saremmo ritrovati eseguendo i calcoli con un prodotto parziale in più. Ciò rappresenta uno spreco di tempo ed incrementa le possibilità di errore.
Conclusioni
Per quanto riguarda il calcolo del prodotto tra un polinomio e un monomio è tutto. Vi consigliamo di prendere bene dimestichezza con l’argomento, poiché è di grande importanza per poter comprendere il prodotto tra polinomi, che è ciò di cui ci occuperemo nella prossima lezione.
Per aiutarvi ad acquisire dimestichezza con l’operazione è anche disponibile l’esercitazione correlata. Buono studio!
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