Esercizi sulla distanza punto retta (nel piano)

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Esercizi sulla retta nel piano e coordinate cartesiane

Proponiamo ora una serie di esercizi svolti e commentati sulla distanza punto retta (nel piano cartesiano). Gli esercizi sono applicazioni di quanto visto nella lezione teorica sul calcolo della distanza di un punto da una retta nel piano.

Per lo svolgimento degli esercizi sulla distanza punto retta nel piano, ricordiamo che data l’equazione di una retta {r} del piano, in forma implicita:

ax+by+c=0, \qquad a,b,c \in \R

con {a, b} mai entrambi nulli, e dato un punto {P} del piano cartesiano, di coordinate note:

P=(x_0, y_0)

la distanza tra il punto {P} e la retta {r} sul piano si può calcolare utilizzando la formula:

d(P, r)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Nel caso in cui ci ritroviamo invece con esercizi sulla distanza punto retta nei quali l’equazione della retta {r} è data nella forma esplicita {y=mx+q}, allora abbiamo due possibilità. La prima opzione è data dal ricondurre l’equazione della retta {r} alla forma implicita, in modo da poter ancora utilizzare la precedente formula per il calcolo della distanza {d(P, r)}.

La seconda opzione consiste invece nel calcolare la distanza {d(P,r)} utilizzando la seguente formula:

d(P,r)=\dfrac{|y_0-(mx_0+q)|}{\sqrt{1+m^2}}

Tale formula è effettivamente applicabile in questo caso, poiché il coefficiente angolare {m} e l’ordinata all’origine {q} sono immediatamente individuabili a partire dall’equazione in forma esplicita della retta {r}.

Infine, nel caso in cui non ricordiamo le formule, niente paura: è comunque possibile cavarsela, anche se con più calcoli. In particolare, il trucco sta nel ricordare che la distanza tra un punto {P} e una retta {r} del piano è definita come la minima tra tutte le possibili distanze tra il punto {P} ed un punto arbitrario della retta {r}. Ma per il teorema di Pitagora, è immediato convincersi che tale minima distanza coincide con la distanza tra il punto {P} e un certo punto {P'} della retta {r} presa lungo la perpendicolare alla retta {r} stessa.

Di conseguenza, il punto {P'} non è altro che il punto di intersezione tra la retta {r} e la retta {r'}, quest’ultima tale da passare per il punto {P} e tale da essere perpendicolare ad {r}. Così, dal punto di vista pratico i passaggi da svolgere sono i seguenti:

• scrivere l’equazione della retta {r'} perpendicolare ad {r} e passante per il punto {P};
• determinare il punto di intersezione {P'} tra le rette {r} ed {r'};
• infine, calcolare la distanza tra i due punti {P} e {P'}. Questa sarà la distanza {d(P,r)} nel piano tra il punto {P} e la retta {r} dati.

Cominciamo a questo punto a svolgere insieme gli esercizi sulla distanza punto retta. Abbiamo infatti riepilogato tutto quanto ci occorre per procedere.

Prima parte: esercizi sulla distanza punto retta con la formula che fa uso dei coefficienti a,b,c

Esercizio 1

Determinare la distanza nel piano tra la retta {r} di equazione {5x+12y+4=0} e il punto {P=(-1, -1)}.

L’equazione della retta {r} è qui data in forma implicita, ovvero nella forma {ax+by+c=0}. E’ dunque immediato ricavare i valori dei coefficienti {a,b,c}:

a=5, b=12, c=4

Sono anche note le coordinate {x_0, y_0} del punto {P}, infatti abbiamo:

P=(-1,-1) \quad \Rightarrow \quad x_0=-1, \: y_0=-1

E’ quindi possibile utilizzare la formula per il calcolo della distanza punto retta con i coefficienti {a,b,c} e le coordinate del punto {P}:

\begin{align*} &d(P, r)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|5 \cdot (-1)+12\cdot(-1)+4|}{\sqrt{5^2+12^2}}=\\ \\ & =\dfrac{|-13|}{\sqrt{25+144}}=\dfrac{13}{\sqrt{169}}=\dfrac{13}{13}=1\end{align*}

Abbiamo così concluso il primo di questa serie di esercizi sulla distanza punto retta nel piano. Infatti, la distanza cercata è {d(P,r)=1}.

Esercizio 2

Calcolare la distanza tra la retta {r} di equazione {r:2x+y-1=0} e il punto {P=(-1,3)}.

Il procedimento da seguire è lo stesso dell’esercizio precedente. Infatti, l’equazione della retta è ancora data in forma implicita. Tuttavia, in questo caso per ricavare i valori dei coefficienti {a,b,c} occorre prestare attenzione ai segni. In particolare abbiamo:

r:2x+y-1=0 \quad \Rightarrow \quad a=2, \: b=1, \: c=-1

Infatti l’equazione può essere riscritta come {2x+y+(-1)=0}, il che effettivamente corrisponde più propriamente alla forma {ax+by+c=0}. Di conseguenza abbiamo {c=-1} (e non {1}).

Ora procediamo come nell’esercizio precedente, tenendo conto che in questo caso abbiamo {x_0=-1} e {y_0=3}:

\begin{align*} &d(P, r)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|2 \cdot (-1)+1 \cdot 3+(-1)| }{\sqrt{2^2+1^2}}=\\ \\ & =\dfrac{0}{\sqrt{5}}=0\end{align*}

Così in conclusione la distanza tra la retta {r} e il punto {P} dati è {d(P,r)=0}.

Attenzione: il fatto che la distanza tra il punto e la retta dati sia nulla significa che il punto appartiene alla retta. Infatti, è possibile in questo caso verificare la condizione di appartenenza del punto {P} alla retta {r} come segue: {2x_0+y_0-1=0 \quad \Rightarrow \quad 2 \cdot (-1)+3-1=0}

Esercizio 3

Proseguiamo questa serie di esercizi sulla distanza punto retta nel piano con un esercizio nel quale l’equazione della retta viene data in forma esplicita. In questo caso, mostreremo un metodo che si basa sulla stessa formula utilizzata sinora.

Calcolare la distanza tra il punto {P=(2,5)} e la retta {r} avente equazione {y=\dfrac{1}{2}x+1}.

Stavolta l’equazione della retta {r} è data in forma esplicita, ovvero è del tipo {y=mx+q}.

Piuttosto che ricorrere alla formula per il calcolo della distanza punto retta che fa uso del coefficiente angolare {m} e dell’ordinata all’origine {q}, ciò che possiamo fare è ricondurre l’equazione della retta data alla forma implicita. In tal modo, è possibile ricavare i valori dei coefficienti {a,b,c} e quindi adottare la formula sin qui utilizzata.

Così, il primo passo è riscrivere l’equazione della retta data nella forma implicita. Prima di tutto, portiamo tutti i termini al primo membro:

y=\dfrac{1}{2}x+1 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{2}x-y+1=0

A questo punto, riconduciamo l’equazione alla forma intera. Per farlo, basta in questo caso moltiplicare tutti i termini per {2}:

r: x-2y+2=0

Ora l’equazione della retta è in forma implicita, ovvero si presenta nella forma {ax+by+c=0}, ed abbiamo per i coefficienti {a,b,c} i seguenti valori:

a=1, \: b=-2, \: c=2

Il testo ci fornisce inoltre le coordinate del punto {P}:

P=(2,5) \quad \Rightarrow \quad x_0=2, \: y_0=5

Di conseguenza è immediato calcolare la distanza tra il punto {P} e la retta {r} utilizzando la formula contenente i coefficienti {a,b,c}:

\begin{align*} &d(P, r)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|1 \cdot 2 + (-2)\cdot5+2 |}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\\ \\ & =\dfrac{|-6|}{\sqrt{5}}=\dfrac{6}{\sqrt{5}}=\dfrac{6}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\end{align*}

Osserviamo che nell’ultimo passaggio abbiamo razionalizzato il risultato.

Seconda parte: esercizi sulla distanza punto retta con il coefficiente angolare m e l’ordinata all’origine q

Proseguiamo ora con esercizi sulla distanza punto retta nel piano nei quali l’equazione della retta è data in forma esplicita, scegliendo per lo svolgimento di utilizzare la formula contenente il coefficiente angolare {m} e l’ordinata all’origine {q}.

Esercizio 4

Calcolare la distanza tra il punto {P=(-3, 4)} e la retta {r: y=-\dfrac{2}{3}x+8}.

Piuttosto che ricondurre l’equazione della retta alla forma implicita ed utilizzare la formula degli esercizi precedenti, scegliamo di prendere un’altra strada. Nello specifico, l’idea è quella di utilizzare la formula:

d(P,r)=\dfrac{|y_0-(mx_0+q)|}{\sqrt{1+m^2}}

la quale fa direttamente uso, oltre che naturalmente delle coordinate del punto {P}, del coefficiente angolare {m} e dell’ordinata all’origine {q} relativi alla retta data.

Nel nostro caso, poiché l’equazione della retta in esame è:

r: y=-\dfrac{2}{3}x+8

abbiamo di conseguenza:

m=-\dfrac{2}{3}, \qquad q=8

Infatti l’equazione della retta è in forma esplicita, ovvero, ricordiamo, della forma {y=mx+q}.

Poiché il punto dato è {P=(-3, 4)}, abbiamo inoltre {x_0=-3, \: y_0 = 4}.

Disponiamo così di tutti gli ingredienti per poter applicare la formula distanza punto retta come segue:

\begin{align*} &d(P,r)=\dfrac{|y_0-(mx_0+q)|}{\sqrt{1+m^2}}=\dfrac{\left|4-\left[ -\dfrac{2}{3} \cdot (-3) +  8 \right]\right|}{\sqrt{1+\left( -\dfrac{2}{3}\right)^2}}=\\ \\ & =\dfrac{|-6|}{\sqrt{\dfrac{13}{9}}}=\dfrac{6}{\dfrac{1}{3} \cdot \sqrt{13}}=6 \cdot \dfrac{3}{\sqrt{13}}=\dfrac{18}{\sqrt{13}}\cdot\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\dfrac{18\sqrt{13}}{13}\end{align*}

Proseguiamo ora gli esercizi sulla distanza punto retta nel piano con un esercizio simile al precedente. Consigliamo di svolgere l’esercizio autonomamente, per poi confrontare soltanto alla fine il vostro svolgimento con quello qui proposto. Diamo comunque sin d’ora un suggerimento: la scelta della formula da utilizzare può anche dipendere dalla forma nella quale si presenta l’equazione della retta data, con particolare riferimento al fatto che i coefficienti dei termini che in essa compaiono siano frazionari o meno.

Esercizio 5

Calcolare la distanza tra il punto {P=(3,1)} e la retta {r: y=\dfrac{7}{24}x-\dfrac{7}{24}}.

Proviamo a procedere come nell’esercizio precedente. Cominciamo scrivendo i dati dei quali disponiamo:

x_0=3, \: y_0=1, \quad m=\dfrac{7}{24}, \: q=-\dfrac{7}{24}

Utilizzando la formula per il calcolo della distanza punto retta che fa uso dei coefficienti {m} e {q} abbiamo:

\begin{align*} &d(P,r)=\dfrac{|y_0-(mx_0+q)|}{\sqrt{1+m^2}}=\dfrac{\left|1-\left[ \dfrac{7}{24} \cdot 3+\left( -\dfrac{7}{24}\right)\right] \right|}{\sqrt{1+\left( \dfrac{7}{24}\right)^2}}=\\ \\ & =\dfrac{\left|1-\dfrac{7}{8}+\dfrac{7}{24} \right|}{\sqrt{1+\dfrac{49}{576}}}=\dfrac{\left|\dfrac{24-21+7}{24} \right|}{\sqrt{\dfrac{625}{576}}}=\dfrac{\dfrac{10}{24}}{\dfrac{25}{24}}=\dfrac{10}{24} \cdot \dfrac{24}{25}=\dfrac{2}{5}\end{align*}

Osserviamo che in questo caso i calcoli sono risultati non troppo comodi a causa della presenza delle frazioni. Ciò ha origine dal fatto che nell’equazione della retta data le quantità {m} e {q} erano frazionarie.

Per rendere più semplici i calcoli, l’alternativa è quella di ricondurre l’equazione della retta {r} alla forma implicita {ax+by+c=0}, e quindi fare uso della formula per la distanza punto retta che contiene i coefficienti {a,b,c}. Vediamo se procedendo in questo modo effettivamente ci ritroviamo con dei calcoli più semplici.

Cominciamo riscrivendo l’equazione della retta {r} nella forma implicita {ax+by+c=0}:

y=\dfrac{7}{24}x-\dfrac{7}{24} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{7}{24}x-y-\dfrac{7}{24}=0 \quad \Rightarrow \quad r: 7x-24y-7=0

da cui:

a=7, \: b=-24, \: c=-7

Applicando l’opportuna formula:

\begin{align*} &d(P, r)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|7 \cdot 3+(-24)\cdot1+(-7)|}{\sqrt{7^2+(-24)^2}}=\\ \\ & =\dfrac{10}{\sqrt{625}}=\dfrac{10}{25}=\dfrac{2}{5}\end{align*}

Abbiamo in conclusione ritrovato lo stesso risultato, ma con calcoli più semplici. Dunque in generale, se l’equazione della retta è data in forma esplicita ma i coefficienti {m} e {q} sono in forma frazionaria, è da valutare in questi esercizi l’opportunità di ricondurre l’equazione della retta alla forma implicita {ax+by+c=0} e quindi utilizzare la formula per il calcolo della distanza punto retta contenente i coefficienti {a,b,c}.

Terza parte: esercizi sulla distanza punto retta senza l’utilizzo della formula specifica

Concludiamo questa serie di esercizi sulla distanza punto retta proponendo un paio di esercizi nei quali non utilizzeremo nessuna delle due formule sin qui viste. Così, piuttosto che utilizzare o la formula della distanza punto retta che fa uso dei coefficienti {a,b,c} o la formula che fa uso delle quantità {m} e {q}, vedremo di cavarcela utilizzando quanto sappiamo in generale sulla geometria analitica.

Come anticipato nell’introduzione a questa esercitazione, l’idea è quella di sfruttare la definizione di distanza di un punto da una retta, nel piano.

Esercizio 6

Calcolare la distanza dal punto {P=(-3,4)} alla retta {r} di equazione {2x-3y+5=0}.

Sfruttando la definizione di distanza punto retta, tale distanza corrisponde alla distanza tra il punto {P} e la retta {r} presa rispetto alla perpendicolare alla retta {r}. Di conseguenza, il primo passo dovrà consistere nello scrivere l’equazione della retta perpendicolare ad {r} e passante per il punto {P}.

L’equazione della retta {r} è data in forma implicita. Di conseguenza, per ottenere l’equazione di una retta ad essa perpendicolare basterà scambiare tra loro i coefficienti {a} e {b} nell’equazione di partenza, cambiando anche il segno di uno ed uno solo dei due coefficienti. Così, l’equazione di una retta perpendicolare ad {r} sarà:

3x+2y+5=0

Abbiamo infatti scambiato tra loro i coefficienti {a} e {b}, cambiando inoltre il segno del coefficiente del termine in {x}.

Ora, noi ricerchiamo una particolare retta perpendicolare ad {r}, ovvero la retta {r'} passante per il punto {P}. Dobbiamo allora imporre nell’equazione appena scritta la condizione di appartenenza al punto {P=(-3,4)}. In tal modo, sarà possibile determinare l’opportuno valore del termine noto tale da soddisfare, oltre alla perpendicolarità ad {r}, anche la condizione di appartenenza al punto {P}. Scriviamo:

3x_0+2y_0+c=0 \iff 3 \cdot (-3)+2 \cdot 4 + c=0 \quad \Rightarrow \quad c =1

Di conseguenza, l’equazione della retta {r'} perpendicolare ad {r} e passante per {P} è:

r':3x+2y+1=0

Ora, il punto di intersezione tra {r} ed {r'} sarà il punto {P'} da utilizzarsi per il calcolo della distanza punto retta cercata. Determiniamo {P'} come punto di intersezione tra la retta {r} e la retta {r'} (sono note le equazioni di entrambe):

\begin{cases} 2x-3y+5=0 \\ \\  3x+2y+1=0\end{cases}

Risolvendo il sistema otteniamo (metodo di riduzione, moltiplicando la prima equazione per 3 e la seconda per -2):

\begin{cases} 6x-9y+15=0 \\ \\ -6x-4y-2=0\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} -13y+13=0  \quad \rightarrow \quad y=1 \\ \\ x=\dfrac{-4y-2}{6}=\dfrac{-4 \cdot 1 -2 }{6}=-1\\ \\ \end{cases}

Così abbiamo:

P'=(-1, 1)

Infine, per definizione la distanza il punto {P} e la retta {r} coincide con la distanza tra il punto {P} e il punto {P'} (vedi distanza tra due punti del piano):

\begin{align*} & d=\sqrt{(x_{P'}-x_P)^2+(y_P-y_{P'})^2}=\sqrt{[-1-(-3)]^2+(1-4)^2}= \\ \\ & =\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\end{align*}

E questa è la distanza cercata, ovvero la distanza tra il punto {P} e la retta {r}:

d(P,r)=\sqrt{13}

Come verifica, possiamo anche provare a calcolare la distanza {d(P,r)} utilizzando l’opportuna formula, e verificare se otteniamo lo stesso risultato. Ricordiamo i dati di partenza:

\begin{align*} & P=(-3,4) \quad \Rightarrow \quad x_0=-3, \: y_0=4  \\ \\ &r: 2x-3y+5=0 \quad \Rightarrow \quad a=2, \: b=-3, \: c=5\end{align*}

Abbiamo:

\begin{align*} &d(P, r)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|2\cdot(-3)+(-3)\cdot4+5|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\\ \\ &=\dfrac{|-6-12+5|}{\sqrt{4+9}}=\dfrac{13}{\sqrt{13}} \cdot \dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\dfrac{13\sqrt{13}}{13}=\sqrt{13}\end{align*}

Effettivamente il risultato appena ottenuto coincide con quello precedente. Osserviamo come ricordando la formula della distanza retta punto il procedimento sia molto più breve. Dunque, imparare a memoria tale formula richiede un po’ di sforzo ma offre grandi vantaggi.

Esercizio 7

Concludiamo questa serie di esercizi sul calcolo della distanza punto-retta con il seguente.

Calcolare la distanza tra il punto {P=(-7,2)} e la retta {r} di equazione {y=-3x+8}.

Rispetto all’esercizio precedente abbiamo una differenza: l’equazione della retta {r} è data in forma esplicita. Proviamo anche in questo caso a risolvere il problema senza utilizzare la formula specifica della distanza punto retta nel piano.

Ricordiamo che data una retta con equazione in forma esplicita, una retta ad essa perpendicolare avrà necessariamente coefficiente angolare uguale all’inverso del reciproco del coefficiente angolare della retta di partenza.

Così nel nostro caso, poiché abbiamo {m=-3}, una retta perpendicolare ad {r} avrà coefficiente angolare {m'=\dfrac{1}{3}}. Così, una retta perpendicolare ad {r} sarà ad esempio:

y=\dfrac{1}{3}x+8

Ora, il nostro obiettivo è ottenere, come nell’esercizio precedente, la retta {r'} perpendicolare ad {r} e passante per il punto {P}. Per fare questo, dovremo determinare il valore dell’ordinata all’origine {q} tale per cui sia possibile ottenere l’equazione di una retta perpendicolare ad {r} e passante per il punto {P}. Così, partendo dall’ultima equazione scritta dobbiamo imporre:

y_0=\dfrac{1}{3}x_0+q \iff 2=\dfrac{1}{3} \cdot (-7)+q \quad \Rightarrow \quad q=\dfrac{13}{3}

Di conseguenza la retta:

r': y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{13}{3}

sarà tale da essere perpendicolare ad {r} e passante per il punto {P}.

Ora, non resta che procedere come nell’esercizio precedente, ricercando il punto di intersezione tra la retta {r} e la retta {r'}:

\begin{cases} y=-3x+8 \\ \\ y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{13}{3}\end{cases}

Stavolta entrambe le equazioni sono in forma esplicita, di conseguenza per risolvere il sistema conviene utilizzare il metodo del confronto:

\begin{cases}y=-3x+8 \\ \\  -3x+8=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{13}{3} \quad \rightarrow \quad \left( \dfrac{1}{3}+3\right)x=8-\dfrac{13}{3} \quad \rightarrow \quad x=\dfrac{11}{10}  \end{cases}

da cui:

\begin{cases} y=-3 \cdot \dfrac{11}{10}+\dfrac{80}{10}=\dfrac{47}{10}\\ \\ x=\dfrac{11}{10}\end{cases}

Così il punto di intersezione tra la retta {r} e la retta {r'} è:

P'=\left( \dfrac{11}{10}, \dfrac{47}{10}\right)

Per concludere basta calcolare la distanza tra il punto {P} e il punto {P'}, che coincide con la distanza tra il punto {P} e la retta {r}:

\begin{align*} & d=\sqrt{(x_{P'}-x_P)^2+(y_{P'}-y_P)^2}=\sqrt{\left[ \dfrac{11}{10}-(-7)\right]^2+\left( \dfrac{47}{10}-2\right)^2}= \\ \\ & =\sqrt{\left( \dfrac{81}{10}\right)^2+\left( \dfrac{27}{10}\right)^2} =\sqrt{\dfrac{6561+729}{100}}=\sqrt{\dfrac{7290}{100}}=\sqrt{\dfrac{729}{10}}=\dfrac{27}{\sqrt{10}}=\\ \\ & =\dfrac{27\sqrt{10}}{10}\end{align*}

Così in conclusione:

d(P,r)=\dfrac{27\sqrt{10}}{10}

Anche in questo caso utilizzando l’opportuna formula per la distanza punto retta si otterrà questo stesso risultato (lasciamo a voi la verifica).

Conclusioni

Per questa serie di esercizi sulla distanza punto retta nel piano è tutto. Prima di salutarci, precisiamo che a nostro parere è importante ricordare soltanto la formula per la distanza punto retta che contiene i coefficienti {a,b,c}, mentre è di secondaria importanza ricordare la formula contenente le quantità {m} e {q}. Infatti, riconducendo quando necessario l’equazione della retta data alla forma implicita è sempre possibile utilizzare la prima formula. Tra l’altro, come mostrato in uno degli esercizi svolti in questa scheda, a volte l’utilizzo della formula distanza punto retta con le quantità {m} e {q} porta a dover svolgere dei calcoli un po’ scomodi.

Negli ultimi due esercizi, infine, abbiamo visto come cavarcela anche senza ricordare la formula distanza punto retta, ma consigliamo ancora una volta di imparare a dovere tale formula.

Buon proseguimento a tutti con SìMatematica, un saluto!